Weitere Beispiele: Lehrsätze von Desargues, Pascal und Brianchon

Zusammenfassung

Wir betrachten jetzt die Figur (den Inbegriff) von sechs Punkten in der Ebene (der Ebene der projektiven Geometrie). Sie sollen alle voneinander verschieden und auf zwei „Dreiecke“ P _l, P ₂, P ₃, Q ₁ Q ₂ Q ₃ so verteilt sein, daß weder die drei ersten Punkte, noch auch die drei letzten einer Geraden angehören¹). Die zweimal drei Punkte bestimmen dann zwei „Dreiseite“ A ₁, A ₂, A ₃ und B ₁, B ₂, B ₃, wo z.B. $A_1 = \overbrace {P_2 P_3 }^{}$ ist, und genauer noch (A ₁ X) = (P ₁ P ₂ X) erklärt werden kann. Es folgt

$$ \left( {A_1 A_2 A_3 } \right) = \left( {P_1 P_2 P_3 } \right)^2 ,\,\,\left( {B_1 B_2 B_3 } \right) = \left( {Q_1 Q_2 Q_3 } \right)^2 $$

((1))

es werden also weder die Geraden A ₁ A ₂ A ₃, noch die Geraden B ₁ B ₂ B ₃ auf demselben Punkt liegen. Die sechs Geraden A _k , B _k brauchen dann nicht alle voneinander verschieden zu sein, sie sind es aber in der Regel²), und wir wollen annehmen, daß sie es wirklich sind. Unter diesen Einschränkungen gilt der folgende Lehrsatz (Satz von Desargues oder „Satz von den Perspektiven Dreiecken“).