Fortsetzung: Sphärische Trigonometrie

Zusammenfassung

In der sphärischen Trigonometrie, die ursprünglich zu praktischen Zwecken entwickelt worden ist (solchen der Astronomie und Geodäsie), handelt es sich um ein System von sechs Zahlen, den „Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreiecks“, die sämtlich reell und zwischen den Grenzen 0 und π enthalten sind. Zwischen diesen Zahlen bestehen mannigfaltige Gleichungen, transzendenter Natur, unter denen aber nur drei voneinander unabhängig sind, so daß man aus dreien der genannten Stücke die übrigen, wenn auch nicht immer eindeutig, berechnen kann. Dieses eben ist die Hauptaufgabe der sphärischen Trigonometrie. Die Formeln aber, deren man sich zur Lösung bedient, sind keineswegs an jene engen Voraussetzungen gebunden, namentlich auch nicht an die Annahme der Realität der zu untersuchenden Figuren, und also auch nicht an die Möglichkeit, sie durch Zeichnungen anschaulich zu machen. Vielmehr ist es klar, daß es sich hier um Tatsachen der Analysis handeln muß, die sich im Rahmen des Verfahrens der analytischen Geometrie so müssen darstellen lassen, daß man von vornherein eine Einsicht in ihren wirklichen Gültigkeitsbereich und auch in die logische Struktur des ganzen Formelsystems erhält. Hier soll gezeigt werden, daß unsere Identitäten A und B zwischen orthogonalen Invarianten für diesen Zweck vollkommen ausreichen; daß man also keinen Vorteil davon hat, weitere Hilfsmittel, besonders auch nicht einzeln hingeschriebene Koordinaten, in Erscheinung treten zu lassen. Später wird sich dann finden, daß eben durch diese Beschränkung in der Wahl der Hilfsmittel von selbst schon eine noch umfassendere Aufgabe gelöst ist, in der an Stelle der quadratischen Form$\left( {X|X} \right) = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$irgend eine nicht-singuläre quadratische Form von drei Veränderlichen tritt.