Zusammenfassung
Eine unbegrenzt fortsetzbare oder unendliche Folge reeller Zahlen
kurz (a n ), kann bei fortschreitender Verfolgung ihrer Glieder ein verschiedenes Verhalten zeigen.
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Literatur
Die Einführung unendlicher Reihen in die Mathematik reicht ins 17. Jahrhundert zurück; ihre richtige Behandlung lehrte aber erst das vorige Jahrhundert.
Das Wort „Konvergenz41 kommt, auf Umfénge von Sehnen- und Tangentenpolygonen mit wachsender Seitenanzahl angewendet, zum erstenmal bei dem englischen Mathematiker J. Gregory (1667) vor und hat sich seither in der ganzen Mathematik eingebürgert.
Diese allgemeine Bedingung der Konvergenz hat zuerst B. Bolzano (1817) angegeben; doch ist sie erst durch Cauchys Schriften weiter bekannt geworden, dem auch meist die Priorität zugesprochen wird.
Dieses Wort in seiner Anwendung auf Reihen, aber wahrscheinlich noch nicht in dem heutigen Sinne gemeint, kommt zum erstenmal bei Nik. I. Bernoulli (1713) vor.
Die Summenformel für die fallende geometrische Reihe ist schon 1593 von F. Vieta gefunden worden.
Ein Beweis für die naive Auffassung, der die unendlichen Reihen anfänglich begegneten, ist darin zu erblicken, daß G. Grandi 1703 für diese Reihe in unbedenklicher Anwendung der Formel (10) die Summe 1/2 angab und daß über die Möglichkeit dieses Resultates ein ernster Streit gefuhrt wurde.
Auf diesem Wege hat Jak. Bernoulli die Divergenz der harmonischen Reihe zuerst erkannt (Wende vom 17. zum 18. Jhrh.).
Mittels dieses Paradoxons hat Joh. Bernoulli die Divergenz nachgewiesen.
Bei einigen speziellen nichtabsolut konvergenten Reiben hatten schon A. Cauchy (1823) und G. Lejeune-Dirichlet (1837) das eigentümliche Verhalten erkannt; den obigen allgemeinen Satz bat aber erst B. Riemann aufgestellt und bewiesen (1867).
Oder wenigstens von einer Stelle ab niemals sunehmen
Dieses Kriterium hat Leibniz schon 1714 nachgewiesen
Unendliche Produkte sind fast gleichzeitig mit den unendlichen Reihen in der Literatur aufgetreten; das erste unendliche Produkt findet eich (1693) bei F. Vieta.
Von der Richtigkeit der Entwicklung überzeugt man sich durch die Erwägung, daß n + 1 Binome tatsächlich ein Produkt aus 2n+1 Gliedern geben. wenn, wie hier, Reduktionen ausgeschlossen sind.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Czuber, E. (1921). Unendliche Reihen und Produkte. In: Einführung in die höhere Mathematik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16047-2_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-16047-2_2
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-663-15475-4
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