Zusammenfassung
Die Kombinatorik hat sich weder in ihren elementaren noch in ihren höheren analytischen Gebieten so entwickelt, wie dies zu Beginn des Jahrhunderts in überschwänglicher Weise von den Vertretern der „kombinatorischen Schule“ erhofft wurde. Anfänge der Kombinatorik lassen sich weit zurück verfolgen; als Zweig der Wissenschaft darf sie erst von Bl. Pascal 1), G. W. Leibnitz 2), J. Wallis 3), besonders aber von Jac. Bernoulli I. und A. de Moivre 4) an gelten. Die Grundzüge der elementaren Teile sind in jedes Lehrbuch übergegangen; die analytischen Anwendungen treten sehr zurück. So stammen die umfassenderen Monographien sämtlich aus früherer Zeit5), und tiefer eindringende Abhandlungen sind nur in geringer Zahl vorhanden6).
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Litteratur
Hessel, Arch. f. Math. 7 (1845), p. 395.
T. P. Kvrkman, Cambr. a. Dubl. J. 2 (1847), p. 191.
A. L. Cauchy, J. de l’Éc. pol. cah. 10 (1815), p. 41.
Mém. Pétersb. 3 (1809), p. 57.
M. Cantor, Z. f. Math. 2 (1857), p. 65.
S. Kantor, Z. f. Math. 15 (1870), p. 361.
A. Cayley, Edinb. Proceed. 9 (1878), p. 338 u. 388.
M. Cantor, Z. f. Math. 2 (1857), p. 410.
J. J. Weyrauch, J. f. Math. 74 (1872), p. 273.
C. W. Baur, Z. f. Math. 2 (1857), p. 267.
A. Laisant, C. R. 112 (1891), p. 1047.
C. Terquem, J. d. Math. 4 (1839), p. 177.
Weitere Einschränkungen in der Stellenbesetzung untersucht Th. Muir, Edinb. Proceed. 10 (1881), p. 187. A. Holtze, Arch. f. Math. 11 (1892), p. 284.
A. Cayley, Messenger (2), 19 (1890), p. 135.
M. Frolov, J. m. spéc. (3), 4 (1890), p. 8 und 25.
J. Bourget, J. de Math. (3), 8 (1882), p. 413.
P. Seelhof, Arch. f. Math. (2), 1 (1884), p. 97.
P. A. Mac-Mahon, Messeng. (2) 24 (1894), p. 69.
E. Ch. Catalan, J. d. Math. 6 (1874), p. 74.
E. Schröder, Z. f. Math. 15 (1870), p. 861.
M. Stern, J. f. M. 21 (1840), p. 91 und p. 177, ibid. 95 (1883), p. 102, C. Wasmund, Arch. f. Math. 21 (1853), p. 228, ibid. 34 (1860), p. 440.
H. F. Scherk, J. f. M. 3 (1828), p. 96; J. f. M. 4 (1829), p. 226.
Öttinger, Arch. f. M. 15 (1850), p. 241.
Baur, Z. f. M. 2 (1857), p. 267. Scherk, Math. Abhandl. Berlin (1825), p. 67. André, Ann. Éc. norm. (2), 5 (1876), p. 155.
Cambr. a. Dubl. m. J. 7 (1852), p. 527 u. 8 (1853), p. 38; vgl. T. Clausen, Arch. f. M. 21 (1853), p. 93.
E. Netto, Substit.-Theorie § 192 ff. Leipz. (1882). Math. Ann. 42 (1892), p. 143. E. H. Moore, Math. Ann. 43 (1893), p. 271; N. Y. Bull. (2), 4 (1897), p. 11.
L. Heffter, Math. Ann. 49 (1897), p. 101. J. de Vries, Rend. Palermo 8 (1894).
Hindenburg, Nov. Syst. Permutationum, Combin. etc. primae lineae. Lips. (1781). — D. polynom. Lehrs., d. wichtigste Theorem d. ganzen Analysis, neu bearb. v., J. N. Tetens, G. S. Kliigel, A. Krauss, J. F. Pfaff u. Hindenburg herausgeg. v. Hindenburg. Leipz. 1796. Hindenburg, Infinitonomii dignitatum historia, leges etc. Vgl. auch J. A. Grunert, Arch. f. M. 1 (1841), p. 67
Brianchon, J. de l’Ec. Polyt. t. 15 (1837), p. 159.
Pascal „productum continuorum“. 44) N. H. Abel, J. f. M. 1 (1826), p. 159 giebt einen Spezialfall; allgemein A. v. Burg, J. f. M. 1 (1826), p. 367. — Cayley, Phil. Mag. 6 (1853), p. 185 = Werke II, 102.
Synopsis. Berlin (1891), p. 64 ff. Vgl. auch G. Eisenstein, Brief an M. A. Stern, Z. f. Math. 40 (1895), p. 193 der hist. Abtl.
Jacobi, J. f. M. 22 (1841), p. 285 = Werke III, p. 355.
Gött. Abh. 22 (1879), 102.
Die dritte Bezeichnung ist yon L. Kronecker vielfach verwendet; die letzte zuerst von St. Smith, Brit. Ass. Rep. (1862), p. 504. Als neu eingeführt hat sie dann L. Kronecker, J. f. M. 68 (1868), p. 273.
Über weitere Bezeichnungen vgl. Cayley, Phil. Mag. 21 (1861), p. 180.
Nanson, Lond. phil. Mag. (5) 44 (1897), p. 396. W. Schrader, Determinanten. Halle 1887.
J. de l’Éc. Polytechn. Cah. 16 (1812), p. 280 u. Cah. 17 (1812), p. 29. — Jacobi, J. f. M. 22 (1841), p. 285 — Werke III, p. 355.
Baltzer, Determin. 4. Aufl. Leipz. 1875, p. 39. Leipz. Ber. (1878), p. 534. C. J. Monro, Messeng. (2), 2 (1872), p. 38.
N. v. Szütz, Math. Ann. 33 (1889), p. 477.
J. J. Weyrauch, J. f. M. 74 (1872), p. 273. Cayley, Monthly Not. of Astron. Soc. 34 (1873–74), p. 303 u. p. 335. G. Salmon, Modern Algebra. Dublin (1885), p. 45.
J. C. Becker, Z. f. M. 16 (1871), p. 326. Gordan, Vorles. üb. Invar.-Th. (1885), p. 21. — Die D. wird „gestürzt“.
Jacobi, J. f. Math. 22 (1841), p. 285, § 10 = Werke III, p. 365.
Jacobi, J. f. Math. 22 (1841), p. 371 = Werke III, p. 452.
Netto, J. f. Math. 114 (1895), p. 345.
E. Pascal, Kend. Acc. d. Line, (5) 5, (1896), p. 188. Das dort aufgestellte Theorem folgt übrigens aus dem vorigen vermittels eines allgemeinen Satzes von Th. Muir, Edinb. Transact. 30 (1882), p. 1, durch den man von einer Formel über Subd. zu einer andern über adjungierte Subd. übergehen kann.
J. de l’Éc. polyt. Cah. 16 (1812), p. 280; Cah. 17 (1812), p. 29.
Weitere Beweise u. a.: J. König, Math. Ann. 14 (1879), p. 507. M. Folk, Brit. Ass. Rep. (1878), p. 473.
A. V. Jamet, Nouv. Corresp. M. 8 (1877), p. 247.
Ch. Hermite, J. f. Math. 40 (1850), p. 297.
K. F. Gauss Werke 8, p. 384. Baltzer, Leipz. Ber. (1873), p. 352.
S. Gundelfinger, Z. f. Math. 18 (1873), p. 312.
Vorlesungen. K. Hensel, Acta mat. 14 (1890–91), p. 317. Netto, Acta mat. 17 (1894), p. 200. B. Igel, Monatsh. f. Math. 3 (1892), p. 55. G. v. Escherich, ib. 3 (181)2), p. 68.
C. W. Borchardt, J. f. Math. 61 (1863), p. 353, 355 macht darauf aufmerksam, dass der Satz ein Spezialfall des früher von Sylvester gegebenen ist; Kronecker, Berl. Ber. (1882), p. 822 weist seine Identität mit dem obigen von Jacobi nach
Vgl. Picquet, C. R. 86 (1878), p. 310; J. de l’Éc. Pol. cah. 45 (1878), p. 201.
Phil. Mag. (4), 1 (1851), p. 415. Vgl. Frobenius, J. f. Math. 86 (1879), p. 54; Berl. Ber. (1894), p. 242.
Netto, Acta math. 17 (1894), p. 201; J. f. Math. 114 (1895), p. 345.
R. F. Scott, Lond. Proceed. 14 (1883), p. 91.
C. A. v. Velzcr, Amer. J. 6 (1883), p. 164.
Ém, Barbier, C. R. 96 (1883), p. 1845; ib. 97 (1883), p. 82.
E. J. Nanson, Lond. phil. Mag. (5) 44 (1897), p. 396.
Picquet, 1. c. G. Zehfuss, Z. f. Math. 7 (1862), p. 496.
Kronecker, J. f. Math. 72 (1870), p. 152. Baltzer, Determinanten, 4. Aufl. Leipz. (1875), p. 53.
O. Hesse, J. f. Math. 49 (1853), p. 246. Vgl. über eine Erweiterung Muir, Amer. J. 4 (1881), p. 351.
S. Gundelfinger, J. f. Math. 91 (1881), p. 235; vgl. Hesse, analyt. Geom. d. Raumes, 3. Aufl. Leipz. (1881), p. 460. Frobenius, Berl. Ber. (1894), p. 245.
Berl. Ber. (1882), p. 821. Vgl. Darboux, J. d. Math. (2) 19 (1874), p. 347.
J. L. Lagrange, Mém. de Berlin (1773), p. 108 für n = 3; allgemein Cauchy, Exerc. de Math. 4 (1829), p. 140. Vgl. E. Kummer, J. f. Math. 26 (1843), p. 268.
G. Bauer, J. f. Math. 71 (1870), p. 46. Sylvester, Phil. Mag. 2 (1852), p. 138. Borchardt, J. de Math. 12 (1847), p. 50; J. f. Math. 30 (1846), p. 38.
R. F. Scott, Quart. J. 17 (1880), p. 129.
Lagrange u. S. D. Poisson sind wohl, Jacobi zufolge, zuerst auf solche D. gestossen. Vgl. Jacobi, J. f. Math. 2 (1827), p. 354.
Cayley, J. f. Math. 38 (1849), p. 93, nennt sie „schief-symmetrisch“. Er beweist zuerst, dass D ein Quadrat ist bei geradem n. J. f. Math. 32 (1846), p. 119; ibid. 50 (1855), p. 299.
Brioschi, J. f. Math. 52 (1856), p. 133. Cayley, 1. c. Vgl. eine Erweiterung von Muir, Phil. Mag. (5) 12 (1881), p. 391.
Painvin, J. d. Math. (2) 3 (1858), p. 41.
J. Sylvester, Am. J. 1 (1878), p. 344.
Sylvester, Phil. Mag. 5 (1859), p. 458; 6 (1853), p. 297.
W. Spottiswoode, J. f. Math. 51 (1856), p. 209. E. Heine, ibid. 57 (1860), p. 231. S. Günther, Erlangen (1873) u. Math. Ann. 7 (1874), p. 267. — Vgl. II A 3.
C. J. Malmsten, J. f. Math. 39 (1850), p. 91. Hesse, ibid. 54 (1857), p. 249. E. B. Christoffel, ibid. 55 (1858), p. 281. Frobenius, ibid. 76 (1873), p. 236. M. Pasch, ibid. 80 (1875), p. 177.
Jacobi, J. f. Math. 12 (1834), p. 38 = Werke III, p. 233; J. f. Math. 22 (1841), p. 319 = Werke III, p. 393. Sylvester, Phil. Trans. (1854), p. 72. Cayley, J. f. Math. 52 (1856), p. 276. Clebsch, ibid. 69 (1868), p. 355. Kronecker, ibid. 72 (1870), p. 155 u. s. w.
Hesse, J. f. Math. 28 (1844), p. 83; ibid. 42 (1851), p. 117; ibid. 56 (1859), p. 263. Sylvester, Cambr. a. Dubl. M. J. 6 (1851), p. 186.
Zuerst behandelt wurden kubische D. von A. de Gasparis (1861). Es folgten: Dahlander, Oefvers. of K. Akad. Stockh. (1863). G. Armenante, Giorn. di Battagl. 6 (1868), p. 185. E. Padova, ibid. p. 182. G. Zehfuss, Frankf. (1868), G. Garbieri, Giorn. d. Batt. 15 (1877), p. 89. H. W. L. Tanner, Proceed. Lond. M. S. 10 (1879), p. 167. R. F. Scott, ib. 11 (1880), p. 17. G. v. Escherich, Wien. Denkschr. 43 (1882), p. 1. L. Gegenbauer, ib. 43 (1882), p. 17; 46 (1883), p.291; 60 (1885), p. 145; 55 (1889), p. 39. Wien. Ber. 101 (1892), p. 425.
G. W. Hill, Acta math. 8 (1886), p. 1, im Wes. Abdruck einer Monogr. Cambridge U. S. A. (1877). H. Poincaré, Bull. Soc. de Fr. 13 (1884–85), p. 19; 16 (1885–86), p. 77. Helge von Koch, Acta math. 15 (1891), p. 53; ibid. 16 (1892 bis 1893), p. 217.
Der Begriff der Matrix ist von A. Cayley Eingeführt, J. f. Math. 50 (1855), p. 282. Cayley will die Theorie der Matrizen von derjenigen der Determinanten getrennt halten.
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Netto, E. (1898). Kombinatorik. In: Meyer, W.F. (eds) Arithmetik und Algebra. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16017-5_2
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