Rationale Funktionen der Wurzeln; Symmetrische und Affektfunktionen

Zusammenfassung

Eine rationale Funktion der n von einander unabhängigen Grössen x ₁, x ₂,..., x _n , welche bei einer beliebigen Vertauschung ihrer Grössen ihre Form, also auch ihren Wert nicht ändert, heisst eine „symmetrische“ oder „einwertige“ Funktion x ₁, x ₂,..., x _n . Insbesondere heissen die Funktionen

$$x_1 + x_2 + \cdots ,\, + x_n = \, - a_1 ,\,x_1 x_2 + x_1 x_s \, + \cdots + x_{n - 1} x_n \, = a_2 , \cdots x_1 x_2 \cdots x^n = ( - 1)^n a_n$$

die „elementaren“ symmetrischen Funktionen. Die Gleichung

$$f(x) = x^n + a_1 x^{n - 1} + a_2 x^{n - 2} + \cdots + \,a_n = 0$$

hat die n Wurzeln x ₁, x ₂,..., x _n . ¹)