Nochmals die linearen Funktionen

Zusammenfassung

Wir wollen nun die Frage wieder aufnehmen, die wir am Schlusse des § 3 verließen, und zusehen, ob wir durch die jetzt folgenden Bemerkungen den Leser eher befriedigen können als damals. Das Neue, was wir jetzt wissen, ist, daß differenzierbare Funktionen winkeltreue Abbildungen vermitteln. Ist denn aber die Funktion $w = \frac{1}{z}$ differenzierbar? Man ist leicht versucht, stillschweigend davon Gebrauch zu machen. Und die Reminiszenz aus dem reellen Gebiet¹), die uns wohl dazu führt, ist durchaus gerechtfertigt. Denn die Definition des Differentialquotienten ist der im Reellen üblichen durchaus analog und somit lassen sich auch die bekannten Sätze über die Differenzierbarkeit und die Differentiationsregeln glatt übertragen. Wie dort differenziert man Summe, Differenz, Produkt und Quotienten. Viel weiter reicht allerdings bisher die Weisheit nicht. Denn was z. B. Sinus und Cosinus im Komplexen sein sollen oder was der Logarithmus einer komplexen Zahl ist, das wissen wir noch nicht. Immerhin genügt das Wenige, um zu wissen, daß die Ableitung von $w = \frac{1}{z}$ wie im Reellen

$$ - \frac{1}{{{z^2}}} $$

ist.