Residuen

Zusammenfassung

In einem Bereiche B sei mit Ausnahme von endlich vielen Punkten a ₁, a ₂, ..., a _n die Funktion f(z) eindeutig und regulär erklärt. ℭ sei eine im Bereiche gelegene geschlossene Kurve ohne Selbstüberkreuzung. Was läßt sich über den Wert von

$$ \frac{1} {{2\pi i}}\int\limits_C {f(z)} dz $$

aussagen? Das ist offenbar eine Fragestellung, die sich im Anschluß an den Hauptsatz der Funktionentheorie von selbst aufdrängt. Dieser Satz selbst ist nicht anwendbar. Denn im allgemeinen wird ℭ einige der Punkte a _z umschließen. Und daher kann man nicht durch Verbindung dieser Punkte mit dem Rande von B einen einfachzusammenhängenden Regularitätsbereich von f(z) konstruieren, dem ℭ angehört. Wohl aber kann man die Betrachtung verallgemeinern, deren wir uns beim Beweis der verallgemeinerten Integralformel auf S. 67 bedienten. Wir wollen sehen, daß das vorgelegte Integral einer gewissen Integralsumme gleich ist, in der jedes einzelne Integral über einen, nur eine der Singularitäten umschließenden, Kreis zu erstrecken ist. Die Kreise sind dabei in derselben Richtung zu durchlaufen, in der ℭ die betreffende Singularität umläuft. Der Leser wird leicht die auf S. 67 gegebene Betrachtung für den vorgelegten Fall verallgemeinern. Nennen wir nun das vorgelegte Integral das Residuum von f(z) an der Kurve.