Zusammenfassung
In diesem Kapitel sind einige, keineswegs vollständige Überlegungen anzustellen, die sich auf die praktisch-rechnerische Optimumbestimmung bei den in der Variablen- und Restriktionenanzahl regelmäßig sehr umfangreichen Endwertmodellen beziehen. Es sind im wesentlichen die Schwierigkeiten darzustellen, welche sich bei der Anwendung der Algorithmen ganzzahliger und gemischt-ganzzahliger linearer Programmierung ergeben. Diese Schwierigkeiten werden als Grund dafür angesehen, im abschließenden Abschnitt B. die Anwendbarkeit eines von der linearen Programmierung grundsätzlich verschiedenen algorithmischen Vorgehens, nämlich der dynamischen Programmierung, für die Lösung von Endwertmodellen zu prüfen.
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Literatur
Glover, F., A Multiphase-Dual Algorithm for the Zero-One Integer Programming Problem, in: OR, Vol. 13 (1965), S. 879 ff., hier S. 880. Zu ei¬ner ähnlichen Systematik siehe Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendungen der ganzzahli¬gen linearen Optimierung, Diplomarbeit Hamburg 1967, S. II - IV.
Neben den anfänglichen, unsystematischen Ver¬suchen (etwa Markowitz, H.M. und Manne, A.S., On the Solution of Discrete Programming Problems, in: Econometrica, Vol. 25 (1957), S. 84 ff.) sind hier vor allem die grundlegenden Arbeiten von Gomory zu nennen. Für den Fall, daß alle Variablen ganzzahlig sein müssen, existieren zwei Versio¬nen: Zur ersten Version (1958) siehe: Gomory, R.E., An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs, Princeton-IBM Mathematics Research Project, Technical Report No 1, Nov. 1958, abge¬druckt in: Recent Advances in Mathematical Pro¬gramming (Hrsg. Graves, R.L. und Wolfe, P.), New York-San Francisco-Toronto-London 1963, S. 269 ff.; zur zweiten “All-Integer-Version” siehe derselbe, All-Integer Programming Algorithm, IBM Research Center Research Report RC-189, Jan. 1960; abgedruckt in: Industrial Scheduling (Hrsg. Muth, J.S. und Thompson, G.L.), New York 1963, S. 195 ff. Zu weiteren Schnitthyperebenenverfah¬ren siehe Glover, F., Multiphase-Dual Algorithm, a.a.O., S. 880.
Hier sind in erster Linie zu nennen: Land, A.H. und Doig, A.G., An Automatic Method of Solving Discrete Programming Problems, in: Econometrica, Vol. 28 (1960), S. 497 ff.; Thompson, G.L., The Stopped Simplex Method: I. Basic Theory for Mixed Integer Programming; Integer Programming, in: Revue Francaice de Recherche Opérationelle, 8 (1964), S. 159 ff.
Siehe folgende Seite.
Vgl. die bei Glover, F., a.a.O., angegebene Arbeit von Fortet und Camion.
Hier ist in erster Linie der “Additive Algorith¬mus” von Balas zu nennen: Balas, E., An Additive Algorithm for Solving Linear Programs with Zero-One Variables, in: OR, Vol. 13 (1965), S. 517 ff. Neben dem Verfahren von Balas gehört hierzu auch der bei Glover dargestellte “Multiphase-Dual¬Algorithmus. Vgl. weiter: Gilmore, P.C. und Gomory, R.E., A Linear Programming Approach to the Cutting Stock Problem - Part II, in: OR, Vol. 11 (1963), S. 863 ff.
Siehe S. 444 FN.4 dieser Arbeit.
Vgl. hierzu die Arbeiten, in denen Ergebnisse numerischer Rechenerfahrungen auf der Grundlage systematischer Zahlenbeispiele mitgeteilt wer¬den. Siehe u.a. Balinski, M.L., Integer Programming, Methods, Uses, Computations, in: MS, Vol. 12 (1965), S. 253 ff.; Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer Code for Integer Solutions to Linear Programs, in: OR, Vol. 13 (1965), S. 946 ff.; Giglio, R.J. und Wagner, H.M., Approximate SolutionsChrw(133), a.a.O., S. 312; Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendungen, a.a.O., S. 91 ff.
Vgl. Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwen¬dungenChrw(133), a.a.O., S. 96.
So weiß man z.B., daß die als LP-Aufgabe formu¬lierten Transportprobleme grundsätzlich schon bei Anwendung des einfachen Simplexalgorithmus’ stets ganzzahlige Lösungen liefern. Vgl. Land, A.H. und Doig, A.G., An Automatic MethodChrw(133), a.a.O., S. 497; Fleischmann, B., Lösungsverfah¬ren und AnwendungenChrw(133), a.a.O., S. B.
Vgl. Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer CodeChrw(133), a.a.O., S. 948 f. Eine andere - als effizient betrachtete - Auswahlregel besagt, diejenige Zeile k heranzuziehen, in der eine Variable am weitesten von einem ganzzahligen Wert entfernt ist. Vgl. Gomory, R.E., An Algo¬rithm for Integer SolutionsChrw(133), a.a.O., S. 295; Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 275.
Siehe S.¢62 ff. dieser Arbeit.
Zur “condensed form” des Simplextableau’s siehe auch Comory, R.E., An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs, a.a.O., S. 294.
Vgl. S. 78 dieser Arbeit.
Zu dieser hier nicht weiter beschriebenen Regel siehe Dantzig, G., Lineare Programmierung und Erweiterungen, a.a.O., S. 273 f.
Bei den von Künzi-Tzschach-Zehnder dargestellten Simplex-ALGOL-(und FORTRAN-)Programmen (Mathema¬tische Optimierung, a.a.O., S. 92 und S. 96 f.) wird bei Verwendung des “condensed” Tableau’s in der Degenerationsprocedure (bzw. SUBROUTINE) n ich t die notwendige Umrechnung in das “spal¬tenkonstante” Tableau berücksichtigt. Damit ist die dort programmierte Degenerationsbehandlung unwirksam, wenn in Spezialbeispielen ein Kreisen auftreten kann. Zu einem solchen Beispiel siehe etwa Hadley, G., Linear Programming, a.a.O., S. 190 ff.
Siehe Gomory, R.E., An Algorithm for Integer Solu¬tion to Linear P rograms, a.a.O., S. 273 f. (4) wird als Grundform bezeichnet, weil auch alle ganzzahligen Linearkombinationen von (4) für alle K (als modulo 1 durchgeführt) zu wirksamen Gomory-Restriktionen führen. Eine Linearkombi¬nation in modulo 1 bedeutet, nur den gebrochenen Teil der entsprechenden Summen heranzuziehen.
Vgl. z.B. Adam, D., ProduktionsplanungChrw(133), a.a.O., S. 147 ff.
Vgl. hierzu vor allem Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer CodeChrw(133), a.a.0., S. 950 ff.
Zu dieser Formulierung des “Gomory-Cuts” und seiner Begründung siehe etwa Dantzig, G., Lineare Programmierung und Erweiterungen, a.a.0., S. 599; bei Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.0., S. 299 ist die Bedingung (7) mit F K 1 multipliziert.
Zum exakten Konvergenzbeweis siehe Gomory, R.E., An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs, a.a.O., S. 287 ff. (“First Method of Proof”).
Vgl. hierzu in Subroutine GOMORY des vorliegen¬den Programmes die Behandlung der dualen Degene¬ration. Hier wird nicht ein (M+N-1)•N “zeilen¬konstantes” Tableau gespeichert, um für QM+N-1 überflüssige Transformationsoperationen zu spa¬ren. Die lexikographische Ordnung der (M+N-1)¬Spaltenvektoren wird wieder wie in “DEGEN” über den Adressvektor MAD(J) erreicht.
Hat A(1,1) den niedrigst möglichen Wert für eine optimale ganzzahlige Lösung erreicht, dann sind in der Regel auch schon alle anderen Variablen ganzzahlig. Vgl. Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 280 f.
Zum ähnlich aufgebauten Konvergenzbeweis für den gemischt-ganzzahligen Fall siehe Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 285 ff.
Das bei Fleischmann, B., (Lösungsverfahren und AnwendungenChrw(133), a.a.0., S. 90) angegebene Ver¬fahren zur Eliminierung von Rundungsfehlern, wie es im SHARE-Programm IPM3 benutzt wird, ist nur anwendbar, wenn durch die “Gomory-Cuts” (der 60-er Version) ein Anwachsen des Produkts aller bis zu einer Iteration vorgekomTinen Pivotelemente über eine feste Grenze (etwa 10) hinaus verhin¬dert werden kann. Diese Gomory-Cuts können aber nur im vollständig ganzzahligen Fall konstruiert werden.
Zu einer guten, knappen Beschreibung des “All¬Integer-Algorithmus” (1960) von Gomory siehe Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendun¬genChrw(133), a.a.0., S. 29 ff.
Eine Ausnahme stellt das Verfahren von Harris, P.M. J., (An Algorithm for Solving Mixed Integer Linear Programs, in: Operational Research Quarterly, Vol. 15 (1965), S. 177 ff.) dar, das in gewisser Weise als eine Modifizierung des Gomory-“All¬Integer-Algorithmus” in Richtung auf gemischt¬ganzzahlige Probleme bezeichnet werden kann. Da aber dieses Verfahren bei den kontinuierlichen Variablen mit gebrochenzahligen Matrixelementen operiert, ist es rundungsfehleranfällig.
Vgl. Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer CodeChrw(133), a.a.0., S. 947.
Balas, E., An Additive AlgorithmChrw(133), a.a.O.,S. 517 ff.
Vgl. Freeman, R.J., Computational Experience with a ‘Balasian’ Integer Programming Algorithm, in: OR, Vol. 14 (1966), S. 935 ff., hier S. 936.
Ebenda, S. 939 f.
Fleischmann, B., Computational Experience with the Algorithm of Balas, in: OR, Vol. 15 (1967), S. 153 ff.
Die Anzahl notwendiger Iterationen im additiven Algorithmus steigt nur mit der Variablen - nicht mit der Restriktionenanzahl. Mit höherer Restrik¬tionenanzahl wird gerade umgekehrt das Optimum schneller erreicht. Vgl. Balas, E., An Additive AlgorithmChrw(133), a.a.O., S. 535.
Als größte Anzahl von Null-Eins-Variablen gibt Fleischmann, B., Computational ExperienceChrw(133), a.a.O., S. 154 (Table I) für ein Beispiel mit 37 Restriktionen die Zahl 159 an. Vgl. auch Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendun¬genChrw(133), a.a.O., S. 95 ff.; Freeman, R.J., Compu¬tational ExperienceChrw(133), a.a.O., S. 937 ff.
Fleischmann, B., Lösungsverfahren und AnwendungenChrw(133), a.a.O., S. 97.
Die dynamische Programmierung ist nicht nur auf dynamische Entscheidungsmodelle anwendbar, in denen “der Zeitfaktor eine wesentliche Rolle” spielt. Kulhavy, E., (Operations Research, Die Stellung der Operationsforschung in der Betriebs¬wirtschaftslehre, Wiesbaden 1962, S. 61) äußert diese unzutreffende Meinung. Sie ist auch für statische Modelle, mit nur einem betrachteten Aktionszeitpunkt, etwa für Allokationsprobleme anwendbar. “Das ‘Dynamische’ dieser Methode liegt im Rechengang”. Wagner, H., Simultane Planung von Investition, Beschäftigung und Fi¬nanzierung mit Hilfe der dynamischen Program¬mierung, in: ZfB, 37. Jg. (1967), S. 709 ff., hier S. 709.
Zur allgemeinen Definition der “Separabilität” von Ziel-und Ergebnisfunktionen im Hinblick auf die dynamische Programmierung siehe Nemhauser, G.L., Introduction to Dynamic Programming, New York-London-Sidney 1966, S. 34 f. Die spezielle additive Form der separablen Zielfunktion wird hier aus Vereinfachungsgründen herangezogen.
Die Klammern [j und ) werden in (16) heran-gezogen, weil xjin und xMax nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen. Zur Definition von [a1 einer Zahl a siehe S. 458 dieser Arbeit. a ist definiert als die kleinste ganze Zahl, die gleich oder größer als a ist.
Für den Spezialfall, daß im LP-Problem (1) alle Elemente des Ausgangstableau’s positiv sind, ver¬lieren die Bemerkungen über die Leere der Lösungs¬räume weitgehend an Bedeutung. In jeder Stufe ist der,’UTweltvektor“.4 parametrisch im Intervall 0=,6.= k zu variieten.
Vgl. hierzu auch Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 433.
So schließt Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 433: “So sehen wir, daß es völlig außer Frage steht, einen generellen Typ eines LP-Problems mit irgendeiner größeren Anzahl von Restriktionen mit der dynamischen Programmie¬rung zu lösen”.
Vgl. Bellman, R., Dynamic ProgrammingChrw(133), a.a.O., S. 81.
Vgl. hierzu auch Nemhauser, G.L., Introduction to Dynamic Programming, a.a.O., S. 63 f. Zur Reduktion der Dimension des Zustandsvektors durch Einführung von iterativ variierten Lagrangemulti¬plikatoren vgl. Bellman, R. und Dreyfus, S.E., Applied Dynamic Programming, Princeton 1962, S. 75 ff. Bei ganzzahligen Programmierungen ist dieses Verfahren jedoch nicht anwendbar.
Vgl. hierzu vor allem Wentzel, J.S., Elemente der dynamischen Programmierung, a.a.O., S. 42–103; Seelbach, H., Zur Anwendung der mathematischen Programmierung in der Investitionsrechnung, a.a.0., S. 83; Miller, D.W. und Starr, M.K., Executive Decisions and Operations Research, Englewood Cliffs 1960, S. 328–334.
Eine Ausnahme: stellt in dieser Hinsicht das Partial¬modell der Bestimmung optimaler Lebensdauern in einer Investitionskette dar. Vgl. hierzu etwa Bell-man, R. und Dreyfus, S.E., Applied Dynamic Pro¬gramming, a.a.O., S. 114–124.
Die im Horizont anfallenden Zahlungen verändern einen Systemzustand, der nur für nicht mehr im Modell betrachtete Aktionen von Einfluß ist; sie sind also - im Endwert zu bewertende - Ergeb¬nisse.
Miller, D.W. und Starr, M.K., Executive DecisionsChrw(133), a.a.O., S. 330. Es ist zu bemerken, daß die Zielsetzung bei Miller und Starr in der Maximimng der (ungewichteten!) Summe aller im Zeitraum 1=t=H erfolgten Ausschüttungen (D t) besteht. Ganz allgemein wäre auch die Zielfunktion KAXfut(Dt))mit bet liebiger Gestalt der Teilnutzenfunktionen ut(Dt) in dem hier darzustellenden DP-Algorithmus zu be-rücksichtigen. Hier soll jedoch nur der Endwert maximiert werden.
Man beachte die Strenge dieser Prämisse; sie läßt nicht die Kassenhaltung zu (außer in Periode H-1), weil diese nicht die geforderte uniforme Zahlungsreihe besitzt.
) Die oberen und unteren Schranken für KIT sind problemindividuell abzuschätzen. In einigen Fällen kann KIT durchaus negativ sein.
Bei Miller/Starr (Executive DecisionsChrw(133), a.a.O., S. 330) wird diese Problemvereinfachung dadurch erreicht, daß - bei Ausschluß der Finanzierungs¬planung - nur der in t zu investierende Geldbe¬trag Ct Entscheidungsvariable ist, wobei ange¬nommen wird, daß eine Funktion et(Ct) existiert, die den pro-GE-Ertrag von Ct in allen Folgeperioden angibt.
) Vgl. hierzu Wagner, H., Simultane PlanungChrw(133)
Aus einem Finanzmittelbestand KIt in einem Zeit¬punkt t folgt nämlich bei nur zwei Zeitpunkte be¬rührenden Zahlungsreihen, daß die entscheidungs¬unabägigen Zahlungen aller Folgezeitpunkte mit L (t+1=z=H) gegeben sind.
Insofern kann nicht die Meinung Seelbachs (Zur An¬wendung der mathematischen Programmierung in der Investitionsrechnung, a.a.O., S. 128) geteilt wer¬den: “Liquiditäts-und Rentabilitätskomponente einer jeden Finanzierungsart sind (im DP-Algorith¬mus, Anm.d.Verf.) erfaßbar”.
Langer, H., Die Bestimmung des optimalen Investi¬tionsprogrammsChrw(133), a.a.O., S. 60.
Albach, H., WirtschaftlichkeitsrechnungChrw(133), a.a.O., S. 68.
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Blumentrath, U. (1969). Exkurs: Zur Numerischen Lösbarkeit von Endwertmodellen. In: Investitions- und Finanzplanung mit dem Ziel der Endwertmaximierung. Schriften zur theoretischen und angewandten Betriebswirtschaftslehre. Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-02599-3_4
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