Geometrische Funktionentheorie

Zusammenfassung

Kapitel 5 ist der geometrischen Funktionentheorie gewidmet. Zunächst werden Automorphismen von speziellen Gebieten (etwa dem Einheitskreis oder der oberen Halbebene) bestimmt und verschiedene Abstandsbegriffe auf der Zahlenkugel eingeführt und miteinander verglichen. Anschließend geht es um spezielle Eigenschaften des Vektorraumes der holomorphen Funktionen aufeinem Gebiet. Eine Besonderheit stellen die „normalen Familien“ dar, in denen jede unendliche Teilmenge eine kompakt konvergente Teilfolge enthält. Der Satz von Montel besagt, dass dafür schon ausreicht, dass die Familie „beschränkt“ ist. Erweitert man den Begriff auf meromorphe Funktionen, so gewinnt man zusätzliche und weiterführende Methoden. Höhepunkt des Kapitels ist der Beweis des Riemann’schen Abbildungssatzes, mit dessen Hilfe einfach zusammenhängende Gebiete – wie in Kapitel 2 angekündigt – reintopologisch charakterisiert werden können. Im Folgenden wird die Fortsetzbarkeit von holomorphen Funktionen über den Rand hinaus untersucht. Der Satz von Caratheodory zeigt, dass dies bei hinreichend schönen Rändern und gegebener stetigen Fortsetzbarkeit möglich ist, und das Spiegelungsprinzip liefert technische Hilfsmittel, um die Fortsetzung in geeigneten Fällen konkret zu bestimmen.

In den Anwendungen wird die Mandelbrot-Menge vorgestellt, sowie ein funktionentheoretisches Modell für die nichteuklidische Geometrie. Die Formel von Schwarz-Christoffel zeigt, wie man ein Polygongebiet biholomorph auf die obere Halbebene abbilden kann, woraus man schließlich Erkenntnisse über den Zusammenhang zwischen elliptischen Funktionen, elliptischen Kurven und elliptischen Integralen gewinnt.