Meromorphe Funktionen

Zusammenfassung

Kapitel 4 handelt von den meromorphen Funktionen. Dabei hilft das Wissen über die Riemann’sche Zahlenkugel, die stereographische Projektion und den unendlich fernen Punkt. Der Satz von Mittag-Leffler zeigt, wann und wie man zu einer diskreten Punktfolge und vorgegebenen Hauptteilen eine meromorphe Funktion mit diesen Polstellen konstruieren kann. Der Weierstraß’sche Produktsatz besagt dagegen, wie man mit Hilfe unendlicher Produkte zu vorgegebenen Nullstellen eine holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen gewinnt. Als Anwendung werden die Gamma-Funktion und elliptische, also doppelt-periodische Funktionen konstruiert.

Im Anhang werden interessante Reihen berechnet und die Bernoulli’schen Zahlen hergeleitet. Mit ihrer Hilfe kann man die Euler’sche Relation beweisen, die weitere Reihenberechnungen ermöglicht.Weiter geht es um asymptotische Entwicklungen von holomorphen Funktionen und die Sattelpunktmethode, mit der asymptotische Entwicklungen gewisser Integrale berechnet werden können. Schließlich werden die wichtigsten Eigenschaften der Zeta-Funktion bewiesen und ihre zahlentheoretische Bedeutung diskutiert. Der Abschnitt schließt mit einer Vorstellung der elliptischen Kurven und deren Bedeutung in Mathematik und Kryptographie.