Das Coulomb-Potenzial

Zusammenfassung

Das Ziel dieses Kapitels ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung zum nicht-relativistischen Wasserstoffatom. Dabei interessiert uns zunächst ganz allgemein die Behandlung rotationssymmetrischer Potenziale. Die Winkelabhängigkeit der Eigenfunktionen des Hamilton-Operators ist durch die Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulsoperators gegeben. Schließlich geht es konkreter um die Beschreibung eines elektrisch geladenen Teilchens (Elektron) in einem Coulomb-Potenzial. Auf diese Weise gelangen wir zu den möglichen Energien im Wasserstoffatom. Außerdem betrachten wir in diesem Kapitel den Spin, wie er im Stern-Gerlach-Experiment gemessen und schließlich von Pauli mathematisch beschrieben wurde.

Übungen

Übung 7.1

Zeigen Sie, dass sich aus einer semiklassischen Überlegung analog zu der Herleitung in Abschn. 7.3.3 für den harmonischen Oszillator die möglichen Energien $E_n = \hbar \omega n$ ($n=0,1,2,3,\ldots$) ergeben.

Übung 7.2

Zeigen Sie, dass der Differentialoperator ${\mathscr {D}}$ (Gl. 7.3) bezüglich des Skalarprodukts für Funktionen auf der Kugeloberfläche (der winkelabhängige Anteil in Gl. 7.5) selbstadjungiert ist.

Übung 7.3

Zeigen Sie explizit, dass der radialabhängige Teil des Laplace-Operators bezüglich des Skalarprodukts für Radialfunktionen in Kugelkoordinaten selbstadjungiert ist. Welche Bedingung folgt daraus für R(r) für $r \rightarrow 0$?

Übung 7.4

Zeigen Sie für das Wasserstoffatom, dass für den Fall $l=0$ die führende Ordnung der Wellenfunktion als Funktion des Radius r im Grenzfall $r\rightarrow 0$ durch $\psi (r) \rightarrow c r$ (mit einer geeigneten Konstanten c) gegeben ist.

Übung 7.5

Zeigen Sie, dass allgemein für radialsymmetrische Potenziale folgende Auswahlregel gilt:

$$\begin{aligned} \langle n,l, m | Q_i |n',l', m' \rangle = 0 {\left\{ \begin{array}{ll} \ {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}} ~~ (m \ne m') &{}{\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}}\quad i=3\\ \ {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}} ~~ (m \ne m' \pm 1) &{} {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}}\quad i=1,2 \end{array}\right. } \end{aligned}$$

(7.64)

Übung 7.6

In kartesischen Koordinaten lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung zum Potenzial des 2-dimensionalen harmonischen Oszillators:

$$\begin{aligned} E \psi (x, y) = \left( - \frac{\hbar ^2}{2m} \left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} + \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}y^2} \right) + \frac{m\omega ^2}{2} ( x^2 + y^2) \right) \psi (x, y) \end{aligned}$$

(7.65)

Durch einen Separationsansatz bzgl. x und y kann man das Problem auf 1-dimensionale Oszillatoren zurückführen (vgl. Übung 6.7) und erhält als Lösungen

$$\begin{aligned} \psi _{n_1 n_2} (x, y)= & {} N_{n_1 n_2} H_{n_1}(\alpha x) H_{n_2}(\alpha y) \exp \left( - \frac{\alpha ^2}{2} (x^2+y^2) \right) \\ \nonumber \text {mit} \qquad&\alpha = \sqrt{\frac{m \omega }{\hbar }}, \ \end{aligned}$$

(7.66)

mit den zugehörigen Energieeigenwerten:

$$\begin{aligned} E = \hbar \omega \big ( n_1 + n_2 + 1 \big ). \end{aligned}$$

(7.67)

Dieses System besitzt Drehungen in der xy-Ebene als Symmetrie:

$$\begin{aligned} x \rightarrow x' = x \cos \varphi + y \sin \varphi \qquad y \rightarrow y' = - x \sin \varphi + y \cos \varphi \end{aligned}$$

(7.68)

Zu dieser Symmetrie gehört als Erhaltungsgröße der Drehimpuls in einem 2-dimensionalen System (klassisch L, mit zugehörigem Operator $\hat{L}$):

$$\begin{aligned} L = x p_y - y p_x \qquad \quad \Longrightarrow \qquad \hat{L} = \mathrm{i} \hbar \left( x \frac{\partial }{\partial y} - y \frac{\partial }{\partial x} \right) . \end{aligned}$$

(7.69)

• 1. Zeigen Sie, dass in Polarkoordinaten,

  $$\begin{aligned} r = \sqrt{x^2+y^2} \qquad \text {und} \qquad \varphi = \arctan \frac{y}{x}, \end{aligned}$$

  (7.70)

  gilt:

  $$\begin{aligned} \hat{L} = \mathrm{-i} \hbar \frac{\partial }{\partial \varphi } \end{aligned}$$

  (7.71)

• 2. Wie lauten die Eigenfunktionen von $\hat{L}$ (in Polarkoordinaten) und was sind die zugehörigen Eigenwerte (für Funktionen, die auf einem Kreis $[0,2\pi )]$ wohl-definiert sind)?

• 3. Drücken Sie die Lösungen der Schrödinger-Gleichung (Gl. 7.66) für die Eigenwerte $E=\hbar \omega (n+1)$ ($n=0,1,2$) in Polarkoordinaten aus.

• 4. Wie lauten die Lösungen der Schrödinger-Gleichung (für die angegebenen ersten drei Energieniveaus), die gleichzeitig auch Eigenfunktionen von $\hat{L}$ sind?

  (Hinweis: Wenn Eigenwerte entartet sind, sind auch beliebige Linearkombinationen von Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten wieder Eigenvektoren. Sie sollten also entsprechende Linearkombinationen aus Produkten der Hermite-Polynome zu festen Energiewerten bilden, die Eigenfunktion von $\hat{L}$ sind.)

• 5. Das Potenzial hat auch die Paritätsinvarianz: $(x, y)\rightarrow (-x,-y)$. Für Wellenfunktionen bedeutet dies $P\psi (x, y) = \psi (-x,-y)$.

  • a) Welche Eigenschaften haben die Eigenfunktionen von P?

  • b) Wie verhält sich der Operator $\hat{L}$ unter dieser Transformation? Was folgt daraus für die Eigenzustände von $\hat{L}$?

• 6. Wie lassen sich die Eigenzustände des Hamilton-Operators bezüglich der Eigenzustände von P klassifizieren? Was können Sie daraus für die Zerlegung der entarteten Eigenzustände von H nach Eigenzuständen von $\hat{L}$ schließen?

Übung 7.7

• 1. Wie lautet die Schrödinger-Gleichung für ein rotationssymmetrisches Potential V(r) in zwei Dimensionen in Polarkoordinaten?

• 2. Machen Sie für die Wellenfunktionen einen Separationsansatz in einen Radial- und einen Winkelanteil. Lösen Sie den winkelabhängigen Anteil.

• 3. Wie lautet die radiale Differentialgleichung?

• 4. Betrachten Sie nun speziell das Potenzial des 2-dimensionalen harmonischen Oszillators $V(r)=\frac{1}{2}m\omega ^2 r^2$. Machen Sie zur Lösung des radiusabhängigen Anteils den Ansatz $R(r)= F(r) \exp \left( -\frac{m\omega }{2\hbar }r^2\right)$. Wie lautet die Differentialgleichung für F(r)?

• 5. Zeigen Sie, dass die Lösungen für F(r) Polynome sind. Wie lauten die Polynomfunktionen in r für die niedrigsten drei Energiezustände.

  (Hinweis: Da die Lösungen in kartesischen Koordinaten bekannt sind – vgl. Übung 6.7 –, kann man die Lösungen in Radialkoordinaten hinschreiben.)

Übung 7.8

• 1. Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung zum 3-dimensionalen harmonischen Oszillator durch einen Separationsansatz in den drei kartesischen Koordinaten x, y, z.

• 2. Das Energiespektrum des 3-dimensionalen harmonischen Oszillators lässt sich in der Form $E_n= \hbar \omega (n + \frac{3}{2})$ schreiben. Wie oft ist ein Energiezustand zu einer Quantenzahl n entartet?

• 3. Konstruieren Sie die drei Eigenzustände des 3-dimensionalen harmonischen Oszillators zur Energie $E=\frac{5}{2}\hbar \omega$. Wie lauten die Eigenzustände zu dieser Energie, die gleichzeitig Eigenzustände zu $L_z$ und $L^2$ sind?

• 4. Wiederholen Sie die Rechnung der letzten Teilaufgabe für die Zustände zu $n=2$.

Übung 7.9

• 1. Wie lautet die Schrödinger-Gleichung des 3-dimensionalen harmonischen Oszillators in Kugelkoordinaten?

• 2. Was ist die Radialgleichung für dieses System?

• 3. Machen Sie den Ansatz $R(r)= F(r) \exp \left( -\frac{m\omega }{2\hbar }r^2\right)$. Wie lautet die Differentialgleichung für F(r)?

• 4. Betrachten Sie den Radialteil der Schrödinger-Gleichung des 3-dimensionalen harmonischen Oszillators. Wie lauten die Polynomfunktionen in r für die niedrigsten drei Energiezustände. (Da die Lösungen in kartesischen Koordinaten bekannt sind, kann man die Lösungen in Radialkoordinaten hinschreiben.)