Die Postulate der Quantentheorie und allgemeine Folgerungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel betrachten wir den abstrakten und formalen Rahmen der Quantentheorie in einer axiomatischen Form. Ganz allgemein sollten die Postulate zu einem physikalischen System klären, welcher mathematische Rahmen für die Darstellung von Zuständen und Observablen gewählt wird, wie der Zusammenhang zwischen Experiment und mathematischer Beschreibung hergestellt werden kann, und von welcher Form die Zeitentwicklung ist.

Übungen

Übung 5.1

Der Beweis der Unschärferelationen aus Abschn. 5.3.2 lässt sich mit geeigneten Anpassungen auf einen entsprechenden Beweis für Fourier-Transformierte übertragen. Nehmen Sie diese Anpassungen vor und beweisen Sie so allgemein für Fourier-Transformationen die Ungleichung 5.51.

Übung 5.2

• 1. Leiten Sie für die Komponenten des Drehimpulses folgende Poisson-Klammer-Beziehungen ab:

  $$\begin{aligned} \{ L_i , L_j \} = \sum _k \varepsilon _{ijk} L_k \end{aligned}$$

  (5.72)

• 2. Zeigen Sie, dass für Hamilton-Funktionen $H(\mathbf {p},\mathbf {q})=\frac{\mathbf {p}^2}{2m} + V(r)$, bei denen das Potenzial nur vom Abstand $r=|\mathbf {q}|$ abhängt, die drei Funktionen H (die Hamilton-Funktion), $L^2$ (das Quadrat des Drehimpulses) und $L_3$ paarweise verschwindende Poisson-Klammern haben.

Übung 5.3

• 1. In der Quantenkryptographie (Abschn. 9.4.5) erhält der Empfänger (Bob) von einem Sender (Alice) einen Satz von Photonen, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit im h-, v-, p- und m-Polarisationszustand präpariert wurden. Bestimmen Sie die Dichtematrix zu diesem Zustand.

• 2. Wie lautet die Dichtematrix zu einem Zustand, der zur Hälfte aus Photonen mit einer horizontalen und zur Hälfte aus Photonen mit einer vertikalen Polarisation besteht? Wie ändert sich die Dichtematrix, wenn h und v durch p ($+45^\circ$) und m ($-45^\circ$) ersetzt werden? Kann man durch eine Messung zwischen diesen beiden gemischten Zuständen unterscheiden?

• 3. Für gewöhnliches Licht kann man annehmen, dass die Photonen ein Gemisch aus Polarisationszuständen bilden, bei denen alle Polarisationsrichtungen (der Einfachheit nehmen wir hier linear polarisierte Photonen an) gleichermaßen vertreten sind. Wie lautet die Dichtematrix zu diesem Zustand?

Übung 5.4

Dichtematrizen sind durch die Bedingungen in Gl. 5.71 definiert. Zeigen Sie:

• 1. Dichtematrizen, für die $\rho ^2 = \rho$, repräsentieren reine Zustände.

• 2. Für je zwei Dichtematrizen $\rho _1$ und $\rho _2$ ist $\rho = \alpha \rho _1 + (1 - \alpha )\rho _2$ mit $0 \le \alpha \le 1$ wieder eine Dichtematrix.

• 3. Die Eigenwerte $\{ p_i \}$ von $\rho$ erfüllen die Bedingungen $0 \le p_i \le 1$ und $\sum _i p_i=1$.

Übung 5.5

Eine ebene elektromagnetische Welle mit der z-Achse als Ausbreitungsrichtung (Wellenzahl $k=2\pi /\lambda$) lässt sich durch den Real- wie auch Imaginärteil von

$$\begin{aligned} \mathbf {E} = \left( \begin{array}{cc} A_1 \\ A_2 \\ 0 \end{array} \right) \text {exp}(\mathrm{i} k(z-ct)) \end{aligned}$$

(5.73)

beschreiben, wobei $A_i$ komplexe Amplituden sein können. Eine andere Darstellung ist:

$$\begin{aligned} \mathbf {E} = \left( \begin{array}{cc} E_1 \cos k(z-ct) \\ E_2 \cos (k(z-ct) + \varphi )\\ 0 \end{array} \right) , \end{aligned}$$

(5.74)

wobei $\varphi$ eine Phasenverschiebung zwischen den beiden transversalen Schwingungskomponenten bezeichnet und die Amplituden $E_i$ diesmal reell sind. Eine beiden Komponenten gemeinsame Phase spielt für das Folgende keine Rolle.

• 1. Welche Beziehung besteht zwischen $A_i$, $E_i$ und $\varphi$?

• 2. Unter welchen Bedingungen an $A_i$ bzw. $E_i$ und $\varphi$ beschreiben die Beziehungen linear polarisiertes Licht?

• 3. Unter welchen Bedingungen an $A_i$ bzw. $E_i$ und $\varphi$ beschreiben die Beziehungen zirkular polarisiertes Licht?

Übung 5.6

Symmetrien können bei der Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung, also der Eigenwertgleichung für H, hilfreich sein. Dies zeigt folgende Übung.

Es sei T eine normale Matrix (d. h. T kommutiert mit $T^\dagger$, siehe Abschn. 4.2.2), und es gelte $[H, T]=0$. T beschreibt also eine Symmetrie von H. Die Eigenzustände zu T seien bekannt:

$$\begin{aligned} T | \tau _i , \varepsilon _i \rangle = \tau _i |\tau _i , \varepsilon _i \rangle , \end{aligned}$$

(5.75)

wobei $\varepsilon _i$ ein Entartungsparameter sein soll, d. h., $\varepsilon _i=1,2,3,..., n_i$ nummeriert Eigenzustände von T zum festen Eigenwert $\tau _i$. Der Entartungsgrad $n_i$ kann für verschiedene Eigenwerte $\tau _i$ auch verschiedene Werte annehmen.

• 1. Zeigen Sie: Ist der Eigenwert $\tau _i$ nicht entartet (also $n_i=1$), dann handelt es sich bei $|\tau _i\rangle$ um einen Eigenzustand von H.

• 2. Zeigen Sie: Ist $\tau _i$ entartet, also $n_i>1$, lassen sich die Eigenzustände von H durch einen Ansatz der Form

  $$\begin{aligned} H \left( \sum _{\varepsilon _i=1}^{n_i} a(\varepsilon _i) | \tau _i,\varepsilon _i \rangle \right) = E\left( \sum _{\varepsilon _i=1}^{n_i} a(\varepsilon _i) | \tau _i,\varepsilon _i \rangle \right) \end{aligned}$$

  (5.76)

  finden. Man hat das Problem der Eigenvektor (und Eigenwert)-Bestimmung von H auf Teilräume reduziert. Je kleiner der Entartungsgrad zu den Eigenwerten der Symmetriegruppe, umso kleiner sind auch die Eigenräume, die bezüglich H noch zu diagonalisieren sind.

Übung 5.7

Zur Anwendung der Überlegungen aus Übung 5.6 sollen die folgenden beiden Matrizen $H_1$ und $H_2$ diagonalisiert werden. Überzeugen Sie sich zunächst davon, dass die angegebenen Matrizen $T_i$ mit $H_i$ kommutieren, diagonalisieren Sie dann $T_i$ und nutzen Sie die gewonnene Information zur Diagonalisierung von $H_i$.

• 1.
  $$\begin{aligned} H_1= \left( \begin{array}{ccc} a &{} b &{} c \\ b &{} d &{} b \\ c &{} b &{} a \end{array} \right) \qquad T_1= \left( \begin{array}{ccc} 0 &{} 0 &{} 1 \\ 0 &{} 1 &{} 0 \\ 1 &{} 0 &{} 0 \end{array} \right) \end{aligned}$$

  (5.77)

  (Hinweis: Zwei Eigenvektoren von T sind von der Form (a, 0, b).)

• 2.
  $$\begin{aligned} H_2= \left( \begin{array}{cccc} a &{} b &{} c &{} d\\ e &{} f &{} g &{} h \\ h &{} g &{} f &{} e \\ d &{} c &{} b &{} a \end{array} \right) \qquad T_2= \left( \begin{array}{cccc} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 1 \\ 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0 \\ 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 \\ 1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 \end{array} \right) \end{aligned}$$

  (5.78)

  (Hinweis: Die Eigenvektoren von T kann man so wählen, dass sie die Form (a, 0, 0, b) bzw. (0, c, d, 0) haben.)