Was sind denn vollständige Funktionensysteme?

Zusammenfassung

In Kap. 4 hatten wir gesehen, wie man beliebige periodische Funktionen als (unendliche) Linearkombinationen von Sinus- und Kosinusfunktionen schreiben kann. Oft hat man aber Funktionen, die nicht periodisch sind. Dann kann man zwar, wie ebenfalls bereits in Kap. 4 dargestellt, stattdessen ein Fourier-Integral verwenden – aber das ist sicher in vielen Fällen nicht einfach berechenbar. Außerdem hat eine Reihenentwicklung den Vorteil, dass man sie nach einigen Summanden abbrechen kann und damit eine beliebig gute Näherung erhält.

Eine naheliegende Frage ist also: Kann man eine ähnliche Reihenentwicklung wie bei der Fourier-Reihe auch mit anderen Funktionen durchführen? Diese Frage klingt erst mal nur rein mathematisch interessant; wir werden aber in diesem Kapitel sehen, dass solch eine Entwicklung auch in der Elektrodynamik für viele Problemstellungen hilfreich sein kann. Weitere Anwendungen finden sich beispielsweise in Feuerbacher 2016. Extrem wichtig werden die hier diskutierten Ergebnisse dann in der Quantenmechanik, wo man meist auch noch einmal genauer darauf eingeht.