Spezielle Funktionen

Grübl, Gebhard

doi:10.1007/978-3-662-58075-2_4

Spezielle Funktionen

Gebhard Grübl²

Chapter
First Online: 05 February 2019

4321 Accesses

Zusammenfassung

Abseparation der Zeit in typischen Wellengleichungen führt im Fall der Ortsfunktion auf die Helmholtzsche Schwingungsgleichung. Der Separationsansatz zur Lösung der Helmholtzgleichung in Kugel- oder Polarkoordinaten führt auf die linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen von Bessel und Legendre. Deren (maximale) Lösungen lassen sich auf Potenzreihenansätze zurückführen. Nur für bestimmte Werte der Separationskonstanten besitzt zumindest ein eindimensionaler Unterraum von Lösungen eine Fortsetzung zu Ganzraumlösungen. Es sind dies die tesseralen Kugelflächenfunktionen. Hier liegt der Grund für die Drehimpulsquantisierung. Die komplexen Kugelflächenfunktionen sind direkte Abkömmlinge der tesseralen. Besselfunktionen hingegen bestimmen das radiale Verhalten der Lösungen. Auch von ihnen besitzt nur ein Typ eine stetige Fortsetzung zu einer Ganzraumlösung. Eulers Gammafunktion ist ein bestimmender Bestandteil der Besselfunktionen. Mit welchen Frequenzen schwingt eine kreisförmige Trommelmembran? Mit welchen eine eingespannte Kugel? Wie lassen sich Atomorbitale veranschaulichen? Wie kommt die Multipolentwicklung der Elektrostatik zustande? Wie die Partialwellenentwicklung einer ebenen Welle?

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Notes

1.
$y^{\left( m\right) }$ bezeichnet die m-fache Ableitung von y.
2.
Der Name geht auf das altgriechische $\tau \acute{\varepsilon }\tau \tau \alpha \rho \varepsilon \varsigma $ und jüngere abgeschliffene $\tau \acute{\varepsilon }\sigma \sigma \varepsilon \rho \varepsilon \iota \varsigma $ (Vier) zurück. Aus diesem Wort wurde das lateinische Wort „tessera“ für das (viereckige) Mosaiksteinchen gebildet. Die Vorzeichen der tesseralen Kugel(flächen)funktionen bilden auf $\mathbb {S}^{2}$ ja tatsächlich ein schachbrettartiges Muster.
3.
Die Physik sagt dazu: Der Eigenraum von $-\varDelta _{S^{2}}$ zum Eigenwert $l\left( l+1\right) $ hat die Parität $\left( -1\right) ^{l}$.
4.
Denn für $c_{0}=0$ gilt $y(x)=x^{\alpha +1}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k+1}x^{k}=x^{\alpha +1}\sum _{k=0}^{\infty }\widehat{c} _{k}x^{k}$. Dieser Prozess der Vergrößerung von $\alpha $ wird so lange fortgesetzt, bis die Reihe mit einem von 0 verschiedenen konstanten Term beginnt.
5.
Man beachte, dass $A_{aus}\left( t,x\right) =A_{ein}\left( -t,x\right) .$
6.
Das folgt aus der Definition von $P_{l}^{m}$ und mit Moivres Formel für $\cos \left( m\phi \right) $ und $\sin \left( m\phi \right) .$
7.
Aus demselben Grund, der es erlaubt, die Außenraumentwicklung auf $y=0$ auszuweiten, kann die Innenraumentwicklung in den Punkt $x=0$ fortgesetzt werden.
8.
Ist $\rho $ eine Massendichte und ersetzt man $1/4\pi \varepsilon _{0}$ durch $-G_{N},$ so ist $\varPhi $ das Gravitationspotential der Massendichte.
9.
$P_{l}^{m} $ bezeichnet hier die zugeordnete Legendrefunktion.
10.
Es gilt ja
$$\begin{aligned} Y_{l}^{-m}\left( \theta ,\phi \right)&=\left( -1\right) ^{-m}\sqrt{\frac{l+\frac{1}{2}}{2\pi }\cdot \frac{\left( l+m\right) !}{\left( l-m\right) !}}P_{l}^{-m}\left( \cos \theta \right) e^{-im\phi }\\&=\left( -1\right) ^{m}\sqrt{\frac{l+\frac{1}{2}}{2\pi }\cdot \frac{\left( l+m\right) !}{\left( l-m\right) !}}\left( -1\right) ^{m}\frac{\left( l-m\right) !}{\left( l+m\right) !}P_{l}^{m}\left( \cos \theta \right) e^{-im\phi }\\&=\left( -1\right) ^{m}\left( -1\right) ^{m}\sqrt{\frac{l+\frac{1}{2} }{2\pi }\cdot \frac{\left( l-m\right) !}{\left( l+m\right) !}}P_{l} ^{m}\left( \cos \theta \right) e^{-im\phi }=\left( -1\right) ^{m} \overline{Y_{l}^{m}\left( \theta ,\phi \right) }. \end{aligned}$$
11.
Der Austausch von x mit y ergibt eine analoge Formel für den Fall $\left| x\right| <\left| y\right| $.

Literatur

Fischer, H., Kaul, H.: Mathematik für Physiker, Bd. 2. Teubner, Stuttgart (2005)
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Jänich, K.: Analysis für Physiker und Ingenieure. Springer, Berlin (2001)
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Schäfke, F.W.: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, Berlin (1963)
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Institut für Theoretische Physik, Universität Innsbruck, Innsbruck, Österreich
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Grübl, G. (2019). Spezielle Funktionen. In: Mathematische Methoden der Theoretischen Physik | 2. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58075-2_4

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Published: 05 February 2019
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-58074-5
Online ISBN: 978-3-662-58075-2
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