Zusammenfassung
Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, dass die Exponentialreihe eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit der Sinus- und Cosinusreihe aufweist. Tatsächlich besteht zwischen diesen – auf den ersten Blick und im Reellen – grundverschiedenen Funktionen eine enge Verwandtschaft, die jedoch erst im Rahmen der komplexen Zahlen sichtbar wird. Sie drückt sich in der so genannten Euler-Formel aus. Da diese Formel es insbesondere erlaubt, Schwingungsvorgänge statt mit Sinus oder Cosinus über eine Exponentialfunktion auszudrücken, besitzt sie auch für Anwendungen in Natur- und Ingenieurwissenschaften eine große Bedeutung.
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Notes
- 1.
Benannt nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777–1855.
- 2.
Benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, 1707–1783.
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Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
A8.1
Für reelle Zahlen \(x\) gilt \(x^{2}\geq 0\). Stimmt das auch für komplexe Zahlen? Oder ist für komplexe Zahlen \(z\) die folgende Aussage richtig: Es ist entweder \(z^{2}<0\) oder \(z^{2}=0\) oder \(z^{2}> 0\)?
A8.2
Gib für die folgenden komplexen Zahlen jeweils Real- und Imaginärteil an, schreibe sie also in der Form \(z=x+\mathrm{i}y\) mit \(x,y\in\mathbb{R}\):
A8.3
Zeige folgenden Satz: Für \(a\in\mathbb{R}\) hat die Gleichung
genau dann keine reellen Lösungen, wenn gilt \(|a|<1\). Und in diesem Fall besitzt die Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen mit dem Betrag \(1\).
A8.4
Ermittle jeweils die Lösungen der folgenden Gleichungen:
A8.5
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründe jeweils die Antwort.
-
(I)
Bei den reellen Zahlen handelt es sich um eine Teilmenge der komplexen Zahlen.
-
(II)
Für komplexe Zahlen ist die Bedingung \(\overline{z}=z\) gleichbedeutend mit \(z\in\mathbb{R}\).
-
(III)
Der Kehrwert einer rein-imaginären Zahl ist stets wieder eine rein-imaginäre Zahl.
-
(IV)
Ein Polynom \(n\)-ten Grads besitzt über \(\mathbb{C}\) stets genau \(n\) voneinander verschiedene Nullstellen.
-
(V)
Es gilt \(\sqrt{\mathrm{i}}=(1+\mathrm{i})/\sqrt{2}\).
-
(VI)
Die komplexe Exponentialfunktion \(\exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\), \(z\mapsto\mathrm{e}^{z}\), besitzt keine Nullstellen.
-
(VII)
Die komplexe Exponentialfunktion \(\exp:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\), \(z\mapsto\mathrm{e}^{z}\), besitzt keine reellen Funktionswerte.
-
(VIII)
Für komplexe Zahlen \(z=x+\mathrm{i}y\) mit \(x,y\in\mathbb{R}\) gilt \(\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{z})=\mathrm{e}^{x}\cos y\).
A8.6
Berechne die folgenden Ausdrücke:
A8.7
Gib jeweils sämtliche Lösungen der folgenden Gleichungen an:
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Balla, J. (2018). Komplexe Zahlen und Euler-Formel. In: Differenzialrechnung leicht gemacht!. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57299-3_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57299-3_8
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