Taylor-Formel

Zusammenfassung

Wir wissen bereits, dass differenzierbare Funktionen lokal „linear approximiert“ werden können. Diese lineare Approximation ist nichts anderes als die Tangente, die in der Umgebung des betrachteten Punkts dicht am Graphen der Funktion liegt.

Übungsaufgaben

A7.1

Gegeben seien eine hinreichend oft differenzierbare Funktion $f$ und ein Punkt $x_{0}$. Wie müssen $a$, $b$ und $c$ gewählt werden, damit die Parabel

$$p(x)=ax^{2}+bx+c$$

in $x_{0}$ denselben Funktionswert und dieselbe erste und zweite Ableitung wie $f$ aufweist?

A7.2

Gib die Taylor-Entwicklungen der Funktion $\cos$ bis zur vierten Ordnung für die Entwicklungspunkte $a_{1}=0$ und $a_{2}=\pi/2$ an.

A7.3

Entwickle eine Näherungsformel für die Funktion $\arcsin$ für kleine Argumente, die über die lineare Näherung hinausgeht.

A7.4

Worin besteht der Nutzen der Lagrange-Form des Restglieds im Hinblick auf Anwendungen der Taylor-Formel?

A7.5

In einer Formelsammlung findet sich für die Wurzelfunktion die Näherungsformel

$$\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}\pm\ldots$$

Verwende diese Formel, um eine Näherung von $\sqrt{\pi+2x}$ für kleine $x$ anzugeben. Kann auch eine Näherung von $\sqrt{x}$ für kleine $x$ angegeben werden?

A7.6

Worin besteht der Unterschied zwischen der „Taylor-Formel“ und der „Taylor-Reihe“?

A7.7

Wie lauten die ersten zehn Glieder der Entwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt $a=1$?

A7.8

Wie zeigt man, dass die Taylor-Reihe einer Funktion tatsächlich gleich der Funktion ist?