Winkelfunktionen

Zusammenfassung

Der Zugang zu den Winkelfunktionen, also zu Sinus und Cosinus, kann auf unterschiedliche Weisen erfolgen. Hier verfolgen wir zunächst einen geometrischen Zugang, da auf diese Weise die grundlegenden Eigenschaften und die vielfältigen praktischen Anwendungen der Funktionen besonders klar werden.

Übungsaufgaben

A5.1

Beantworte zur Erinnerung die folgenden Fragen: Was ist ein gleichseitiges Dreieck? Was ist ein rechtwinkliges Dreieck? Was ist der Thales-Kreis? Was ist ein gleichschenkliges Dreieck? Wo liegt der Schwerpunkt eines Dreiecks? Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks?

A5.2

Ein Array von Radioteleskopen besitze eine Winkelauflösung von $0{,}001^{\prime\prime}$. Welcher lateralen Streckenauflösung entspricht dies im etwa 26 000 Lichtjahre entfernten Zentrum der Milchstraße? (Lichtgeschwindigkeit $c=300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$)

A5.3

An welchen Stellen zwischen 0 und $4\pi$ weist der Sinus den Wert $1/2$ auf? Und wo ist der Cosinus gleich $-\sqrt{3}/2$?

A5.4

• a) Zwei Seiten eines Dreiecks mit den Längen $6\,\mathrm{cm}$ bzw. $2\,\mathrm{cm}$ schließen einen Winkel von $60^{\circ}$ ein. Wie lang ist die dritte Seite?

• b) Die Seitenlängen eines Dreiecks betragen $a=3\,\mathrm{cm}$, $b=4\,\mathrm{cm}$ und $c=5\,\mathrm{cm}$. Welche Innenwinkel besitzt das Dreieck?

A5.5

Zeige die Gültigkeit folgender Formeln:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(1)\ \frac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x\\ \displaystyle&\displaystyle(2)\ \sin^{2}x=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)\\ \displaystyle&\displaystyle(3)\ \sin(3x)=3\sin x-4\sin^{3}x\\ \displaystyle&\displaystyle(4)\ \cos(4x)=8\cos^{4}x-8\cos^{2}x+1\\ \displaystyle&\displaystyle(5)\ \tan^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}.\end{aligned}$$

A5.6

Wir wir wissen, ist $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, und es ist auch $\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$. Und umgekehrt? Ist $\arcsin\frac{1}{2}=\frac{5\pi}{6}$ auch richtig?

A5.7

Man sagt, es sei $\arctan\infty=\frac{\pi}{2}$. Was bedeutet das genau, und warum ist das so? Und ist in diesem Sinn auch $\tan\frac{\pi}{2}=\infty$?

A5.8

Begründe, dass gilt $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$.