Umkehrfunktionen

Zusammenfassung

Bei vielen wichtigen Funktionen handelt es sich um Umkehrfunktionen bekannter Funktionen. So ist das Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens, und der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Übungsaufgaben

A4.1

Wenn jemand sagt, die Funktionen $x\mapsto x$ und $x\mapsto 1/x$ seien beides Funktionen, die gleich ihrer Umkehrfunktion wären. Und es seien die beiden einzigen. Hat er damit recht?

A4.2

Löse folgende Gleichungen jeweils nach $x$ auf:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(\mathrm{a})\ 1-\mathrm{e}^{2x^{2}-3}=0&\displaystyle&\displaystyle(\mathrm{b})\ 2^{x}=\sqrt{8}&\displaystyle&\displaystyle(\mathrm{c})\ \ln(x^{2}+2x+1)=2\\ \displaystyle&\displaystyle(\mathrm{d})\ \frac{1}{\sqrt[3]{2x^{2}+3}}-\frac{1}{4}=0&\displaystyle&\displaystyle(\mathrm{e})\ x^{5}=-243&\displaystyle&\displaystyle(\mathrm{f})\ \sqrt[3]{x^{5}}=-32.\end{aligned}$$

A4.3

Ist die Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ mit $f(x)=\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-4x^{3}}$ umkehrbar? Falls ja, ermittle die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einschließlich ihres Definitionsbereichs und ihres Bilds.

A4.4

Wir nehmen an, die Fallgeschwindigkeit $v$ beim Fallschirmspringen werde gegeben durch die Formel

$$v(t)=\frac{mg}{c}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{c}{m}t}\right),\quad t\geq 0.$$

Darin steht $t$ für die Zeit nach dem Absprung, $m$ für die Masse des Fallschirmspringers, $g$ für die Fallbeschleunigung und $c$ ist ein „Reibungsfaktor“, der von den äußeren Bedingungen des Sprungs abhängt.

• a) Welche maximale Endgeschwindigkeit, abhängig von $m$, $g$ und $c$, erreicht der Fallschirmspringer? Nach welcher Zeit wird die halbe Endgeschwindigkeit erreicht?

• b) Bestimme die Konstante $c$ für einen Springer mit der Masse $m=100\,\mathrm{kg}$ (und $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$) so, dass er eine maximale Endgeschwindigkeit von $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ erreicht. Nach welcher Fallzeit hat er die halbe Geschwindigkeit erreicht?

A4.5

Stimmt die Aussage, dass sämtliche Logarithmusfunktionen $\log_{a}$, $a\in\mathbb{R}_{+}^{*}\setminus\{1\}$, nur auf $\mathbb{R}_{+}^{*}$ definiert und streng monoton steigend sind? Und warum ist eigentlich die Basis $1$ nicht erlaubt?

A4.6

Gib – wenn möglich – den Wert der folgenden Grenzwerte an:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(1)\ \lim_{x\rightarrow\infty}(x^{2}\,\mathrm{e}^{-x})&\displaystyle&\displaystyle(2)\ \lim_{x\rightarrow\infty}(x\ln x)&\displaystyle&\displaystyle(3)\ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\ln x}\\ \displaystyle&\displaystyle(4)\ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1+\mathrm{e}^{x}}{x^{2}+7x}&\displaystyle&\displaystyle(5)\ \lim_{x\searrow 0}\frac{\mathrm{e}^{x}}{\ln x}&\displaystyle&\displaystyle(6)\ \lim_{x\searrow 0}(x\ln x).\end{aligned}$$