Parametrische lineare Programmierung

Zusammenfassung

Wir betrachten in diesem Kapitel lineare Programme, bei denen die Koeffizienten der Zielfunktion und der rechten Seite reelle Parameter enthalten. Ziel ist es, die Lösung des LPs in Abhängigkeit von diesen Parametern zu bestimmen. Dabei orientieren wir uns an der Vorgehensweise in Dinkelbach 1969. In diesem Werk wird die parametrische lineare Programmierung ausführlich behandelt. Neben den im Folgenden angegebenen Definitionen findet man dort weitere Erläuterungen zum mathematischen Hintergrund. Insbesondere wird auf charakteristische Eigenschaften der Lösungen von Problemstellungen mit Parametern eingegangen. Darüber hinaus wird der Fall von Parametern in der Koeffizientenmatrix untersucht, den wir hier nicht erörtern werden.

Aufgaben

Aufgabe A.1 (Problem mit Parameter)

Lösen Sie das folgende Optimierungsproblem mit dem Parameter $t\in[-3,3]$ in der Zielfunktion.

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle z=(1+t)x_{1}+(3-t)x_{2}\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle&\displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad x_{1}+2x_{2}\leq 8,\\ \displaystyle&\displaystyle\phantom{\text{u.\,d.\,N.}}\quad x_{1}+\phantom{2}x_{2}\leq 4,\\ \displaystyle&\displaystyle\phantom{\text{u.\,d.\,N.}}\quad\phantom{x_{1}+2}x_{2}\leq 2,\\ \displaystyle&\displaystyle\phantom{\text{u.\,d.\,N.}}\quad x_{1},x_{2}\geq 0.\end{aligned}$$

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Aufgabe A.2 (Problem mit Parameter)

Ein Unternehmen produziert und vertreibt Erzeugnisse der Art I und II. Die Entscheidungsvariablen $x_{1}$ und $x_{2}$ geben die in der Planungsperiode herzustellenden Mengen der beiden Erzeugnisarten jeweils in Mengeneinheiten (ME) an. Die Aufgabe besteht darin, unter den folgenden Bedingungen Werte für $x_{1}$ und $x_{2}$ so zu bestimmen, dass der aus dem Verkauf der Produkte zu erzielende Deckungsbeitrag maximal wird. Zum einen ist bei der Produktion eine Kapazitätsbeschränkung in Höhe von 36 Kapazitätseinheiten (KE) in der Planungsperiode zu beachten. Eine Einheit von Erzeugnisart I benötigt in der betrachteten Planungsperiode 3 KE, eine Einheit von II hingegen 2 KE. Zum anderen kann der Markt in der zur Diskussion stehenden Planungsperiode von beiden Erzeugnisarten zusammen höchstens 14 ME aufnehmen. Der Deckungsbeitrag beträgt 9 Geldeinheiten (GE) pro ME für Erzeugnisart I und 11 GE pro ME für II.

Die gegebenen Daten des formulierten Entscheidungsproblems gelten für die betrachtete Periode. Es ist für die nächsten acht Perioden damit zu rechnen, dass einerseits die Aufnahmefähigkeit des Marktes von Periode zu Periode um 2 ME zunimmt, dass aber andererseits der Deckungsbeitrag je ME der Erzeugnisart II in einer Periode jeweils gegenüber dem Deckungsbeitrag in der vorhergehenden Periode infolge periodischer Kostensteigerungen um 1 GE abnimmt. In welcher Weise ändern sich in den folgenden acht Perioden die optimalen Werte der Entscheidungsvariablen sowie der maximale Wert der Zielfunktion? (Aufgabe nach Dinkelbach, W.: Sensitivitätsanalysen. In: Grochla und Wittmann 1976, Sp. 3530–3535, hier Sp. 3534–3535.)  □