Finite-Volumen-Verfahren

Zusammenfassung

Die dritte Klasse von numerischen Methoden für partielle Differenzialgleichungen sind die Finite-Volumen-Verfahren, die für hyperbolische Erhaltungsgleichungen abgeleitet werden. Diese Verfahren sind eine direkte Approximation von integralen Mittelwerten in den Gitterzellen. Man benötigt hier keine Voraussetzung an die Stetigkeit der Lösung. Der zentrale Baustein der Finite-Volumen-Verfahren ist die Berechnung des numerischen Flusses. Aus den Näherungswerten für die integralen Mittelwerte muss der Fluss zwischen den Gitterzellen berechnet werden. Es wird die Idee von Godunov eingefürt, bei der über die lokale Lösung von stückweise konstanten Daten die Berechnung des Flusses ausgeführt wird. Die lokale Lösung wird für eine eindimensionale skalare Erhaltungsgleichung und für lineare Systeme dargestellt und der Godunov-Fluss abgeleitet. Neben Approximationen dieses Flusses wird auch eine Methode vorgestellt, wie man mittels stückweiser linearer rekonstruierter Werte eine Flussberechnung bekommt, welche in Bereichen, in denen die Lösung glatt ist, eine Approximation zweiter Ordnung erhält.