Zusammenfassung
Viele ihrer philosophischen Probleme teilt die Quantenfeldtheorie (QFT) mit der Quantenmechanik. Dazu gehören der Messprozess und die damit zusammenhängenden Interpretationsprobleme, zu denen die QFT kaum etwas Neues beiträgt. Auch die Frage, wie die Objekte, die die Theorie beschreibt, in den Raum eingebettet sind, wird schon in der Quantenmechanik diskutiert. Die neuen mathematischen Strukturen der QFT lassen allerdings auch neue Antworten erwarten, so dass die raumzeitliche Interpretation der Theorie ein wichtiges Thema wird. In diesem Kapitel werden die mathematischen Besonderheiten der QFT skizziert und es wird gezeigt, dass dadurch sowohl eine Teilchen- wie auch eine Feldinterpretation ausgeschlossen wird. Zum Abschluss werden alternative Interpretationsansätze diskutiert.
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Notes
- 1.
Vgl. z. B. den Como-Vortrag 1925 von Bohr (1961), insbes. S. 54.
- 2.
Für Experten: Eine manifest relativistisch invariante Schreibweise ist ebenfalls möglich. Schließlich ist noch zu erwähnen, dass die Vertauschungsrelationen 6.3 nur für bosonische Felder gelten, wie insbesondere das elektromagnetische Feld. Im Rahmen der QFT werden aber ebenso wie diese Wechselwirkungsfelder auch materielle „Teilchen“, mit halbzahligem Spin, durch Felder beschrieben. Für solche fermionischen Felder, wie etwa das Dirac-Feld für Elektronen, benötigt man Anti-Vertauschungs-Relationen, die etwas von den Gl. 6.3 abweichen. Wir benutzen im Folgenden zudem auch das sogenannte Heisenberg-Bild, d. h. wir arbeiten mit zeitabhängigen Operatoren.
- 3.
Die Schrödinger-Gleichung verletzt die Forderung der Speziellen Relativitätstheorie , dass die Naturgesetze ihre Form bewahren müssen, wenn man mittels Lorentz-Transformation vom Bezugssystem eines inertialen Beobachters zu dem eines anderen übergeht. Die Maxwell-Gleichungen etwa erfüllen diese Forderung; insbesondere hat Licht im Vakuum für alle diese Beobachter die gleiche Geschwindigkeit c.
- 4.
Wie in der QFT üblich, werden wir dies im Folgenden kurz als „freie Theorie“ bezeichnen.
- 5.
Es gibt insbesondere Lösungen mit negativer Energie, die zu unendlichen Kaskaden von energetisch günstigeren Zuständen mit niedrigerer Energie führen würden. Rückblickend kann man argumentieren, dass es auch nicht zu erwarten ist, dass relativistische Prozesse mit einer Einteilchentheorie beschrieben werden können, da die Energie-Masse-Äquivalenz E = mc2 der Speziellen Relativitätstheorie die Entstehung von Teilchen-Anti-Teilchen-Paaren erlaubt (Peskin und Schroeder 1995, Kap. 2). Ein weiteres Problem besteht darin, dass die Normierung der durch die Klein-Gordon-Gleichung bestimmten Zustände nicht mehr zeitunabhängig ist, was ihre Interpretation als Antreffwahrscheinlichkeitsdichte unterminiert. Die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt also zwar die Forderungen der Speziellen Relativitätstheorie , nicht aber die der Quantenmechanik (Srednicki 2007, Kap. 1).
- 6.
- 7.
Im Lagrange-Formalismus lässt sich die jeweilige Bewegungsgleichung, bei Feldern also die Feldgleichung, dadurch herleiten, dass man die Lagrange-Dichte einem Variationsprinzip unterwirft, welches durch die Euler-Lagrange-Gleichung ausgedrückt wird (bzw. genauer: zu dieser Gleichung führt). So können z. B. durch Einsetzen der Lagrange-Dichte der Elektrodynamik in die Euler-Lagrange-Gleichung die Maxwell-Gleichungen hergeleitet werden.
- 8.
Die Frequenz ω = 2πν ist über \(\hbar \omega_\textbf{p} = \sqrt{\vert \textbf{p}\vert ^2c^2 + m^2c^4}\) mit dem Impuls verbunden. In vielen QFT-Lehrbüchern werden die Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung nicht mit den Impulsen \(\textbf{p}\), sondern mit den Wellenvektoren \(\textbf{k}\) formuliert, welche über \(\textbf{p} = \hbar \textbf{k}\) zusammenhängen und mit der oben eingeführten Setzung ћ = 1 sogar identisch sind.
- 9.
Die „0“ auf der rechten Seite bezeichnet den Nullvektor, der nicht mit dem Vakuumzustand \(\vert 0 \rangle\) verwechselt werden darf.
- 10.
Wir arbeiten an dieser Stelle bereits faktisch mit der sogenannten Fockraum-Darstellung der Vertauschungsrelationen, die wir im nächsten Abschn. 6.3.3 systematisch einführen werden.
- 11.
Zum Zusammenhang von Vertauschungsrelationen und Zustandsraum vgl. Mandl und Shaw (2010), Abschn. 1.2.2 und 3.1.
- 12.
Die Möglichkeit, variable Teilchenzahlen zu beschreiben, bedeutet nicht gleichzeitig, dass die zu Grunde liegenden Wechselwirkungen selbst beschrieben werden. Wir arbeiten weiter mit der sogenannten freien Theorie aus dem vorigen Abschnitt. Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beschreiben in ihr keine dynamischen Prozesse. Tatsächlich besagt das sogenannte Haagsche Theorem sogar, dass die Beschreibung von Wechselwirkungen in dem Rahmen dieser Theorie ausgeschlossen ist. Diese Einschränkung auf die freie Theorie hat wichtige Konsequenzen für die Interpretation (s. Abschn. 6.4.2). Für die konkrete Behandlung von Streuprozessen ist sie aber zunächst nicht so erheblich, wie es erscheinen mag, da wir es hier zumindest mit asymptotisch, d. h. auf lange Sicht, freien Zuständen zu tun haben und diese „lange Sicht“ fast sofort nach der Wechselwirkung erreicht wird.
- 13.
Diese Alternative bedeutet, dass die ontologische Bedeutung der erzeugten Zustände hier (noch) nicht festgelegt ist.
- 14.
Da \(a^{\dagger} (\textbf{p})\) und \(a^{\dagger}(\textbf{p}^\prime)\) laut Gl. 6.9 kommutieren, ist der Zweiteilchen-Zustand \(a^{\dagger} (\textbf{p}^\prime) a^{\dagger}(\textbf{p}^\prime) \vert 0 \rangle\) identisch mit dem Zustand \(a^{\dagger} (\textbf{p}^\prime) a^{\dagger} (\textbf{p}) \vert 0 \rangle\) mit vertauschten Erzeugungsoperatoren. Mehrteilchen-Zustände sind also symmetrisch unter Permutationen der Erzeugungsoperatoren. Des Weiteren können beliebig viele Klein-Gordon-„Teilchen“ mit demselben Impuls bzw. in derselben Feldmode \(\textbf{p}\) erzeugt werden. Wie wir in Kap. 3 gesehen haben, bedeutet dies, dass Klein-Gordon-„Teilchen“ Bosonen sind.
- 15.
Es gibt natürlich auch in der Quantenphysik Systeme mit unterscheidbaren Teilchen, nämlich Mehrteilchen-Systeme mit verschiedenen Teilchensorten. Auch diese werden mit dem Hilbertraum-Formalismus beschrieben und lassen daher die typischen Superpositionen zu.
- 16.
Es gilt \(\textit{h}_1 \otimes_{s} \textit{h}_2 \equiv \textit{h}_1 \otimes \textit{h}_2 + \textit{h}_2 \otimes \textit{h}_1\).
- 17.
- 18.
Da die meisten Operatoren in der Schrödingerschen Version der Quantenmechanik Differenzialoperatoren sind, hatten wir diesen Zugang den „Analysis-Zugang“ genannt.
- 19.
Im Folgenden werden gelegentlich unerläuterte Begriffe in Anführungsstrichen oder eingeklammert auftauchen, entweder damit die betreffenden Aussagen nicht falsch werden und/oder um dem Leser mit weitergehenden Interessen den Zugang zu vertiefender Literatur zu erleichtern. Bei der ersten Lektüre können die jeweiligen Begriffe jedoch ignoriert werden.
- 20.
Siehe Abschn. 3.1.4.
- 21.
Auf der Existenz inäquivalenter Darstellungen beruht z. B. der sogenannte Unruh-Effekt , wonach das, was für einen Beobachter wie ein Vakuum aussieht, für einen beschleunigt bewegten Beobachter als thermisches Bad von Teilchen erscheint. Der tiefere Grund für dieses anscheinende Paradoxon ist, dass mit den beiden Beobachtern verschiedene inäquivalente Darstellungen verbunden sind, was u.a. bedeutet, dass sie verschiedene Vakuumzustände haben. Tatsächlich hängen verschiedene inäquivalente Darstellungen sogar systematisch mit verschiedenen Vakuumzuständen zusammen. Dies ist Grundlage der sogenannten „GNS-Konstruktion“, die für den Zusammenhang von AQFT und konventioneller QFT eine wichtige Rolle spielt, da hierbei ausgehend von Observablen-Algebren verschiedene Operatordarstellungen mit je verschiedenen Vakuumzuständen konstruiert werden.
- 22.
Ruetsche (2003) diskutiert ausführlich die philosophischen Konsequenzen.
- 23.
- 24.
Diese Forderung steht nicht im Widerspruch zur Möglichkeit nicht-lokaler EPR-Korrelationen (s. Kap. 4).
- 25.
- 26.
Eine knappe Darstellung der verschiedenen Defizite findet sich in Kuhlmann (2012), Abschn. 4.1.
- 27.
Ein Überblick über die verschiedenen Interpretationen der QFT findet sich in Kuhlmann 2012, Abschn. 5.1.2.
- 28.
Auch Wigners gruppentheoretische Klassifikation der Elementarteilchen (Wigner 1939) liefert keine Definition des Teilchenbegriffs, wie oft angenommen wird. Was Wigner stattdessen definiert, ist Elementarität (s. Kuhlmann 2010, Abschn. 8.1.2). Dies lässt sich schon daran sehen, dass räumliche Lokalisierbarkeit in Wigners Definition keine Rolle spielt.
- 29.
Klassische relativistische Teilchen müssen wegen der Äquivalenz von Masse und Energie die in Gl. (6.4) ausgedrückte Energiebedingung erfüllen.
- 30.
Statt von ordinaler Abzählbarkeit wird mitunter (s. Teller 1995) auch einfach von Abzählbarkeit gesprochen und der Aggregierbarkeit (hier: kardinaler Abzählbarkeit) gegenübergestellt.
- 31.
Fraser (2008) drückt dies so aus, dass Abzählbarkeits- und Energiebedingung erfüllt sind. Da Abzählbarkeit aber oft – wie z. B. von Teller – im ordinalen Sinne verstanden wird, es im gegenwärtigen Zusammenhang aber gerade um den kardinalen Sinn geht, sprechen wir von Diskretheit.
- 32.
Baker (2013, S. 267) hält dagegen, dass die Situation ähnlich der von Atomen in Superpositionszuständen sei, ohne dass wir daher die Existenz von Atomen bezweifeln würden.
- 33.
Teller (1995) argumentiert dagegen, dass probabilistische Aussagen ein generischer Zug der Quantenphysik sind und sich mit einer Propensitätsinterpretation quantenmechanischer Wahrscheinlichkeiten (s. Abschn. 2.2.2) beide Probleme bewältigen lassen. Siehe bei Teller (1995) S. 31–33 bzgl. des ersten und S. 110–112 bzgl. des zweiten Problems. Eine sehr zugängliche Darstellung und kritische Diskussion von Tellers Argumenten bieten Huggett und Weingard (1996) .
- 34.
Hierbei setzt Teller allerdings voraus, dass es nicht sinnvoll ist anzunehmen, Quantenobjekte seien primitiv individuiert. Wie wir in der Diskussion über die Möglichkeit schwacher Unterscheidbarkeit in Abschn. 3.2.3 gesehen haben, ist diese Voraussetzung allerdings insbesondere in den letzten Jahren vielfach kritisiert worden.
- 35.
- 36.
Das gilt, obwohl in der Störungstheorie der konventionellen Quantenmechanik mit dem Fockraum gearbeitet wird.
- 37.
Bain (2011) formuliert eine alternative Quanta-Interpretation für die asymptotisch freie Theorie.
- 38.
Nach Baker (2013) beziehen sich die Permutationen auf die Reihenfolge, in der Ladungen (zu „algebraischen Zuständen“) hinzugefügt werden.
- 39.
Etwas vorsichtiger als viele andere Lehrbücher formulieren dann auch Peskin und Schroeder (1995, S. 22): „It is quite natural to call these excitations particles, since they are discrete entities that have the proper relativistic energy-momentum relation. (By a particle we do not mean something that must be localized in space; \(a_\textbf{p}^{\dagger}\) creates particles in momentum eigenstates.)“
- 40.
Vgl. dazu und zu anderen Beweisen Halvorson und Clifton (2002), Kuhlmann (2010), Kap. 8, und Kuhlmann (2012), Abschn. 5.3.
- 41.
In der mathematisch saubereren algebraischen Formulierung der QFT (s. Abschn. 6.3.5) wird erstens nicht Punkten, sondern endlichen Regionen der Raumzeit etwas zugeordnet, und zweitens sind es keine einzelnen Operatoren, die diesen zugeordnet werden, sondern Algebren von Operatoren. Für die folgenden Argumente bedeutet dies aber keinen wesentlichen Unterschied.
- 42.
- 43.
Maurin (2013) gibt einen aktuellen Überblick.
- 44.
Siehe etwa das boundary problem in Campbell (1990).
- 45.
Anders als beim englischen „particulars“ wäre der im Deutschen gängige Ausdruck „Einzeldinge“ hier sehr missverständlich, da einzelne Tropen ja gerade keine Dinge sind.
- 46.
Kuhlmann (2010), Kap. 11–15.
- 47.
- 48.
Eine Möglichkeit sind multiperspektivische Ansätze, wie etwa der „Schweizer-Messer-Ansatz“ (swiss army approach) von Ruetsche (2011) . Es stellt sich aber die Frage, ob das Problem damit nicht eher explizit formuliert als gelöst wird.
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Übungsaufgaben zu Kap. 6
Übungsaufgaben zu Kap. 6
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1.
Informieren Sie sich über Theorien des Lichts aus der Geschichte der Physik! Warum war man mit Newtons Theorie des Lichts nicht zufrieden? Vergleichen Sie die mathematische Beschreibung von Teilchen und Wellen! Was ist Ihrer Auffassung nach der Hauptunterschied?
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2.
Gibt es in der klassischen Physik etwas, das weder Teilchen noch Feld ist?
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3.
Nennen Sie zwei Argumente, die nach Ihrer Auffassung am meisten dafür sprechen, die Quantenfeldtheorie als Theorie über Teilchen zu verstehen. Was kann man gegen diese Argumente ins Feld führen?
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4.
Würde es Ihrer Meinung nach helfen, die Begriffe „Teilchen“ und „Feld“ auszuweiten, d. h. nicht nur solche Entitäten Teilchen bzw. Felder zu nennen, die alle Charakteristika klassischer Teilchen bzw. klassischer Felder erfüllen?
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Kuhlmann, M., Stöckler, M. (2018). Quantenfeldtheorie. In: Philosophie der Quantenphysik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54276-7_6
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