K6 Wärmestrahlung - Superisolierungen

Zusammenfassung

Dies ist ein Kapitel der 12. Auflage des VDI-Wärmeatlas.

Appendices

Anhang A1: Wärmeleitfähigkeit und Kopplung der Komponenten

Pseudo-Wärmeleitfähigkeit

Grundsätzlich gilt: Es ist nicht zulässig, aus jedem beliebigen Wärmestrom $\dot{\mathrm{Q}}$ oder aus jeder beliebigen Wärmestromdichte $\dot{\mathrm{q}}$ nach den Gl. (38a) und (38b) eine Wärmeleitfähigkeit λ zu errechnen, indem man $\dot{\mathrm{Q}}$ oder $\dot{\mathrm{q}}$,

$$ \dot{\mathrm{Q}}=\lambda\;\mathrm{A}\;\Delta \mathrm{T}/\mathrm{D}, $$

(38a)

$$ \dot{\mathrm{q}}=\dot{\mathrm{Q}}/\mathrm{A}=\lambda\;\Delta \mathrm{T}/\mathrm{D}, $$

(38b)

sowie Querschnittsfläche A, Temperaturabfall ΔT und Wandabstand D festhält und nach λ auflöst,

$$ \lambda =\dot{\mathrm{Q}}\;\mathrm{D}/\left(\mathrm{A}\;\Delta \mathrm{T}\right)=\left[\dot{\mathrm{Q}}/\left(\mathrm{A}\;\Delta \mathrm{T}\right)\right]\mathrm{D}\;\mathrm{oder}\;\lambda =\mathrm{a}\;\mathrm{D} $$

(38c)

mit einer Konstanten, a. Denn die so erhaltene Wärmeleitfähigkeit λ könnte eine Pseudo-Wärmeleitfähigkeit λ’ sein, die in Wirklichkeit vom Wandabstand D abhängt. Auf zylindrische Geometrie gehen wir später ein.

Dass Gl. (38c) zu irreführenden Vergleichen von Wärmeleitfähigkeiten λ’ führen kann, die in verschiedenen Experimenten bestimmt wurden, ist zwar leicht einzusehen, wurde in der Literatur aber nicht immer beachtet. Die Begründung, warum diese Vorgehensweise nicht korrekt ist, kann aus dem Fourierschen Gesetz in differenzieller Schreibweise hergeleitet werden:

$$ \dot{\mathrm{Q}}=-\lambda\;\mathrm{A}\;\mathrm{dT}/\mathrm{dx} $$

(39)

mit dem Temperaturgradienten -dT/dx, der in einer beliebigen Richtung gebildet wird. Dazu muss er allerdings existieren, und genau hier liegt das Problem: Die Temperatur T(x) an einer Stelle x ist ja nur dann definiert, wenn an dieser Stelle der Temperatursensor thermisch möglichst perfekt an das Medium ankoppelt, in welchem das Profil T(x) gemessen werden soll. Wann ist das der Fall?

Indem wir Gl. (39) mit dem Temperaturgradienten formulieren, setzen wir implicit voraus, dass der Wärmetransport, ausgedrückt durch $\dot{\mathrm{Q}}$ oder $\dot{\mathrm{q}}$, ein (wenigstens in x-Richtung) schrittweise ablaufender Prozess ist. Diese Sichtweise ist erfüllt, sobald die mittlere freie Weglänge, l_m, zwischen zwei Wechselwirkungen (Stöße von Gasmolekülen, Streuung von Elektronen an Gitterbausteinen, Fremdatomen, Versetzungen oder Grenzflächen, Streuung von Photonen beim Strahlungstransport) klein ist gegen den Wandabstand D, der Prozess also als ein Diffusions- oder diffusionsähnlicher Vorgang beschrieben werden kann, der in vielen einzelnen Schritten mit jeweils kleiner Schrittweite abläuft. Erst dann ist es möglich, ein Temperaturprofil T(x) anzugeben, und entsprechend existiert der Gradient dT(x)/dx nur dann, wenn T(x) (a) existiert und (b) differenzierbar ist.

Dass der Gradient –dT/dx durch den Temperaturabfall ersetzt wird, also –dT/dx → ΔT/D, kommt in einfachster Sichtweise durch die Unzulänglichkeit von Wärmetransportmessungen zustande. Es ist einfacher, mit dem Temperaturabfall über die Gesamtdistanz (Isolationsdicke D) zu arbeiten statt ein Temperaturprofil T = T(x) aufzunehmen. Allerdings geht dabei einiges an Information verloren. Genauer betrachtet kommt die differentielle Schreibweise des Wärmeleitungsgesetzes unter stationären Bedingungen durch die Fouriersche Differenzialgleichung zustande, Gl. (2) in Kap. „E2 Wärmeleitung – instationär“.

Wir können damit auch sagen, wann die Vorgehensweise, in einer Superisolierung den Wärmetransport als Diffusionsvorgang aufzufassen, nicht funktioniert: Beim Wärmetransport durch ein stark verdünntes Gas (freie molekulare Strömung) und beim Wärmetransport durch freien Strahlungsaustausch zwischen zwei oder mehreren Wänden liegt kein diffusionsähnlicher Prozeß vor. In beiden Fällen erfolgt der Transport nämlich nicht schrittweise, mit einer großen Zahl, D/l_m, von (kleinen) freien Weglängen sondern muss ohne Bezug auf freie Weglängen durch integrale Ausdrücke beschrieben werden. Dann entfällt die Möglichkeit, den Wärmetransport mittels Wärmeleitfähigkeit und Fourierschem Gesetz anzugeben und den Wärmstrom nach einer Wärmeleitfähigkeit aufzulösen. Wenn man es trotzdem tut, erzielt man bestenfalls eine Pseudo-Wärmeleitfähigkeit, die je nach Versuchsbedingungen verschieden ausfallen kann; der Vergleich von Messwerten aus verschiedenen Experimenten ist dann kaum möglich.

Dies gilt in Folien-Superisolierungen für die freie molekulare Strömung, Gl. (3a) oder (4), und bei Strahlung Gl. (6), (7a), (7b) und (9). Bei dispersen Isolierungen entscheidet die optische Dicke, ob man Strahlungstransport als einen diffusionsähnlichen Vorgang behandeln darf.

Ein Beispiel mag dies weiter erläutern und zusätzlich auf die Rolle des thermischen Emissionsvermögens hinweisen. Wenn ein vollständig transparentes Medium (optische Dicke (τ₀ → 0) zwischen unendlich ausgedehnten, ebenen Wänden 1 und 2 mit dem gleichen thermischen Emissionsvermögen (ɛ₁ = ɛ₂ = ɛ) positioniert wird, dann ist die stationäre Strahlungsflussdichte ${\dot{\mathrm{q}}}_{\mathrm{Rad}}$ gegeben durch Gl. (7b),

$$ {\dot{q}}_{\mathrm{Rad}}=\frac{\sigma \cdot \left({T}_1^4-{T}_2^4\right)}{2/\varepsilon -1}\left[\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2\right]. $$

Die Strahlungsflussdichte ${\dot{\mathrm{q}}}_{\mathrm{Rad}}$ hängt nicht vom Wandabstand D ab, jedoch vom Emissionsvermögen der Wände. Würde man diese Strahlungsstromdichte ${\dot{\mathrm{q}}}_{\mathrm{Rad}}$ wie oben beschrieben in eine Wärmeleitfähigkeit λ_Rad umrechnen, würde das Ergebnis nicht nur vom Wandabstand D sondern auch noch vom Emissionsvermögen der Wände abhängig sein. Das entspricht aber nicht der Grundannahme des Fourierschen Gesetzes, wonach die Wärmeleitfähigkeit definiert ist als ein ausschließlich auf ein bestimmtes Material bezogener Kennwert, der weder vom Wandabstand D einer Versuchsapparatur noch von den Emissionsvermögen ɛ deren Wände abhängen darf.

Dasselbe gilt, wenn die optische Dicke τ₀ eines dispersen oder eines beliebigen anderen kontinuierlichen Mediums nicht Null sondern von Null verschieden ist. Diese Bedingung liegt vor in einem teilweise transparenten Medium, in dem τ₀ klein ist, Gl. (25),

$$ {\dot{q}}_{\mathrm{Rad}}=\frac{{\dot{Q}}_{\mathrm{Rad}}}{F}=\frac{\sigma \cdot \left({T}_1^4-{T}_2^4\right)}{\frac{2}{\varepsilon_{\mathrm{Wand}}}-1+\frac{3}{4}\cdot {\tau}_0^{\ast }}\left[\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2\right]. $$

In diesem Fall wäre die Abhängigkeit von λ_Rad bezüglich D oder ɛ zwar geringer als zuvor, aber immer noch messbar. Dies bedeutet, dass streng genommen eine Größe λ_Rad als Wärmeleitfähigkeit zur Anwendung des Fourierschen Gesetzes nicht existiert, wenn in einem dispersen oder anderen Medium die optische Dicke klein ist und sei es auch nur in bestimmten, relevanten Wellenlängenbereichen. Wenn λ_Rad dennoch aus einer der beiden obigen Gleichungen für die Strahlungs-Wärmestromdichte berechnet werden sollte, kann diese Leitfähigkeit nur als Pseudo-Strahlungsleitfähigkeit λ_Rad’ verstanden werden. Für Benutzer ist sie von nur geringem Wert, wenn sie nicht wissen, wie groß Wandabstand und Emissionsvermögen im diesbezüglichen Experiment gewesen sind.

Es wurde in Abschn. 3.2.2 schon darauf hingewiesen, dass die Entscheidung, ob eine strenge („echte“, in Sinn des Fourierschen Gesetzes) oder eine Pseudo-Wärmeleitfähigkeit vorliegt, auch von der Versuchstemperatur abhängt, weil das Strahlungsmaximum bei verschiedenen Temperaturen in verschiedene Wellenlängenbereiche fällt, in denen die optische Dicke groß oder klein sein könnte. Man muß sich die Transmissionsspektren ansehen.

Eine die Voraussetzungen des Fourierschen Gesetzes ohne Einschränkung erfüllende („echte“) Strahlungsleitfähigkeit existiert daher nur, wenn die optische Dicke des Mediums bei allen relevanten Wellenlängen so groß ist, dass Strahlung an jeder beliebigen Position x innerhalb des Mediums ihren Ursprung genau an dieser Position x hat, oder ausschließlich in deren engster Umgebung. Strahlung, die von den Behälterwänden ausgeht, die das Medium einschließen, oder von Positionen x’ ≠ x, die um viel mehr als nur um genau eine mittlere freie Weglänge, l_m = 1/E, der Strahlung auseinander liegen, kann an der Stelle x nicht wahrgenommen werden. Ein Beobachter an dieser Stelle kann diese Strahlung, „da sie von weit her kommt“, nicht sehen, weil er nur Strahlung vom Ausgangspunkt x oder aus dessen engster Umgebung wahrnimmt. Damit kann er auch nicht als Messwert registrieren, wie groß das Emissionsvermögen einer möglicherweise weit (im Vergleich zu l_m) entfernten Behälterwand ist.

Die gleiche Überlegung gilt für zylindrische Geometrie. Wir werden im Folgenden die Gleichungen für diese Geometrie nachtragen, auf die in Abschn. 2.3 verwiesen wurde.

Gegeben seien zwei in Längsrichtung unendlich ausgedehnte, konzentrisch angeordnete Zylinder, von denen der eine (1) den inneren, der andere (2) die äußere Behälterwand bilden sollen. Beide sollen gleiches thermisches Emissionsvermögen ɛ haben, und es gebe keine Strahlungsfolien, N = 0, im Zwischenraum zwischen (1) und (2). Der stationäre Strahlungswärmestrom, ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad}}$, ist dann gegeben durch

$$ {\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad},0}=\sigma\;{\mathrm{A}}_1\left({\mathrm{T}}_1^4-{\mathrm{T}}_2^4\right)/\left[1/\varepsilon +\left({\mathrm{A}}_1/{\mathrm{A}}_2\right)\left(1/\varepsilon -1\right)\right]. $$

(40)

Vergleichen wir dies mit dem Wärmeleitfähigkeitsgesetz (wir tun also so, als ob der Zwischenraum mit einem wärmeleitenden Medium gefüllt wäre): In zylindrischer Geometrie und wieder mit der vereinfachenden Annahme eines Temperaturabfalls ΔT = (T₁ − T₂), jetzt über den radialen Abstand r₂ − r₁, haben wir

$$ \dot{\mathrm{Q}}=\pi\;\mathrm{L}\left({\mathrm{T}}_1-{\mathrm{T}}_2\right)/\left[\left(1/2\lambda \right)\ln \left({\mathrm{r}}_2/{\mathrm{r}}_1\right)\right] $$

(41)

(s. Kap. „E1 Wärmeleitung – stationär“), mit L der Länge der Zylinder (die hier natürlich endlich sein muss) und den Radien r₁ < r₂. Auflösen nach der fiktiven Strahlungsleitfähigkeit liefert

$$ {\lambda}_{\mathrm{Rad},0}'=\sigma\;{\mathrm{r}}_1\left\{\ln \left({\mathrm{r}}_2/{\mathrm{r}}_1\right)/\left[1/\varepsilon +\left({\mathrm{r}}_2/{\mathrm{r}}_1\right)\left(1/\varepsilon -1\right)\right]\right\}4{\mathrm{T}}_{\mathrm{Rad}}^3 $$

(42)

mit A_1,2 = 2π r_1,2 L, und 4T_Rad³ = (T₁⁴ − T₂⁴)/(T₁ − T₂), aus Gl. (21).

Auch in dieser Geometrie würde die errechnete Strahlungsleitfähigkeit λ_Rad,0’ von der Versuchsanordnung, hier vom Faktor [r₁ ln(r₂/r₁)] und von r₂/r₁ sowie vom Emissionsvermögen abhängen, ist also wieder eine Pseudo-Strahlungsleitfähigkeit. Wenn man r₁ konstant hält, haben wir eine Abhängigkeit von λ_Rad’ bezüglich ln(r₂), die zwar schwächer als in ebener Geometrie, aber immer noch nachweisbar ist.

Wenn N Strahlungsfolien zwischen den konzentrisch angeordneten Wänden (1) und (2) eingefügt werden, beträgt der stationäre Strahlungswärmestrom nach Kaganer [1], S. 33 bis 34,

$$ {\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad},\mathrm{N}}={\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad},0}/\left\{1+\left({\eta}_{\mathrm{W}}/{\eta}_{\mathrm{Foil}}\right){\mathrm{r}}_1\;\Sigma 1/\left[{\mathrm{r}}_1+\left(\mathrm{n}/\left(\mathrm{N}+1\right)\right)\left({\mathrm{r}}_2-{\mathrm{r}}_1\right)\right]\right\} $$

(43)

mit dem reduzierten Emissionsvermögen η_i = ɛ_i/(2 − ɛ_i) wie in Abschn. 2.3 (index i = W oder Foil). Die Summe läuft über 1 ≤ n ≤ N. Für die Herleitung des Nenners, 1 + (η_W/η_Foil) r₁∑1/[r₁ + (n/(N + 1))(r₂ − r₁)], siehe Kaganer [1]. Wenn dann Gl. (43) gleich gesetzt wird zum Wärmestrom $\dot{\mathrm{Q}}$ in Gl. (41), haben wir

$$ {\lambda}_{\mathrm{Rad}}'={\lambda}_{\mathrm{Rad},0}'/\left\{1+\left({\eta}_{\mathrm{W}}/{\eta}_{\mathrm{Foil}}\right){\mathrm{r}}_1\;\Sigma 1/\left[{\mathrm{r}}_1+\left(\mathrm{n}/\left.\left(\mathrm{N}+1\right)\right)\right)\left({\mathrm{r}}_2-{\mathrm{r}}_1\right)\right]\right\}. $$

(44)

Die Abhängigkeit der Strahlungsleitfähigkeit von der Versuchsgeometrie sieht hier komplizierter aus und ist geringer als zuvor, aber sie verschwindet nicht. Dies wird durch Kaganer [1], S. 106, Tab. 19 bestätigt: Experimentell bestimmte Werte der Pseudo-Wärmeleitfähigkeit einer Vielschichtisolierung beim Restgasdruck unter 0,01 Pa hängen deutlich von der Dicke der Isolierung ab.

Wenn anstelle unendlich lang gestreckter ebener oder zylindrischer Begrenzungswände nur Wände endlicher Länge betrachtet werden, ist die Situation dennoch ganz analog und führt zu den gleichen Folgerungen bezüglich der Leitfähigkeit λ_Rad’ wie zuvor, nur muss jetzt noch Strahlungsaustausch zwischen den ebenen oder zylindrischen Seitenwänden und Folien und den Stirnflächen und dort angesiedelten Folien bei der Berechnung von ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad}}$ berücksichtigt werden. Diese Aufgabe ist mit Strahlungsaustauschfaktoren lösbar, dies geht aber über diesen Anhang hinaus.

Nehmen wir dagegen an, dass in ebener oder zylindrischer Geometrie die Nichtstrahlungskomponenten des Gesamtwärmestroms ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total}}$ abhängig vom Wandabstand D seien (bezüglich ${\dot{\mathbf{Q}}}_{\mathrm{Gas}}$ geht das nur, wenn nicht freie molekulare Strömung vorliegt). Wenn nun λ_Rad’ eine Pseudo-Strahlungsleitfähigkeit ist, was wiederum bedeutet, dass der Strahlungsanteil in λ_Total groß sein muss, dann gelten die obigen Folgerungen auch für λ_Total, falls λ_Rad’ in Gl. (26) (anstelle einer wahren Strahlungsleitfähigkeit, die man nur für τ₀ → ∞ erhalten kann) eingefügt würde. Wie für λ_Rad sind dann auch Werte für λ_Total für den Benutzer von geringem Wert, wenn nicht angegeben ist, unter welchen Versuchsbedingungen gemessen wurde (nämlich mit welchen D und ɛ).

Daher existiert eine Gesamtwärmeleitfähigkeit λ_Total im (strengen) Fourierschen Sinn nur dann, wenn alle ihre Komponenten existieren in dem Sinn, dass sie alle von den Versuchsbedingungen unabhängig sind, damit ihre Anwendbarkeit im Fourierschen Gesetz streng gültig ist. Alles andere sind mehr oder weniger gute Näherungen.

Es ist daher nicht möglich, für einen Isolierungsbehälter eine Gesamtwärmeleitfähigkeit zu definieren, wenn er lediglich mit einem transparenten Gas geringer Dichte gefüllt ist oder überhaupt nur das Vakuum vorliegt (wie in Thermoskannen). Man kann höchstens eine Wärmeleitfähigkeit für die Komponente Gas angeben, wenn das Gas nicht-transparent ist. Nichtransparenz von Gasen oder Gasgemischen kann über hohe Dichte oder über große Schichtdicken erzwungen werden; die Natur macht es auf der Oberfläche der Venus vor, wie deren hohe Temperatur durch eine gegen Wärmestrahlung nicht-transparente dichte und dicke Atmosphäre zustande kommt.

Die Wärmeleitfähigkeit von transparenten Gasen (das sind die allermeisten) muss von nichtlokalen Wärmetransportmechanismen (Strahlung) bereinigt worden sein (vergl. den Kommentar von Tsederberg [74], S. 88, zu den Arbeiten von Wilner and Borelius). Dem wird bei der Messung von λ_Gas zu entsprechen versucht, indem unter sehr kleinen Temperaturdifferenzen ΔT gemessen wird, oder man muss die Leitfähigkeit der Gase anders als mittels kalorimetrischer Messungen bestimmen, um das Problem „kleine optische Dicke“ zu umgehen.

Zusammenfassend können wir sagen: In dispersen Superisolierungen ist große optische Dicke streng genommen unabdingbar für die Existenz einer Gesamtwärmeleitfähigkeit. Der Begriff Wärmeleitfähigkeit setzt stets einen diffusionsähnlichen Transportprozess voraus, gleichgültig, mit welchem Träger (Gasmoleküle, Elektronen, Phononen, Photonen) er zustande kommt. Beim Strahlungstransport ist er nur im Ausnahmefall „nicht-transparentes Medium“ erfüllt, unter freier molekularer Strömung wegen der fehlenden Gasmolekül/Gasmolekül-Stöße über geringste Distanzen jedoch überhaupt nicht.

Es ist daher nicht erstaunlich, dass in den 1980er-Jahren in der Fachliteratur ein „Dickenproblem“ von mikroporösen Isolierungen breit diskutiert wurde. Weiter fällt auf, dass häufig Diagramme zu sehen sind, in denen die Wärmeleitfähigkeit von Superisolierungen für jeden beliebigen Restgasdruck angegeben wird. Bei sehr kleinen Drucken existiert streng genommen die Komponente λ_Gas aber nicht. Es ist fraglich, ob dieser Mangel durch die anderen Komponenten geheilt wird.

Scheinbare Leitfähigkeit

Eine andere Leitfähigkeit, deren Angabe häufig in der Literatur zu finden ist, lautet „scheinbare Leitfähigkeit“. Diese Bezeichnung wird benutzt, falls eine starke Krümmung des Temperaturprofils T(x) in der betrachteten kontinuierlich aufgebauten Superisolierung vorliegt oder große Temperaturgradienten dT(x)/dx, vorzugsweise an den Begrenzungswänden, auftreten (illustriert wird dies z. B. in [7], Abb. 1.2). Die Berechnung der Wärmeleitfähigkeit aus gemessenen Gesamtwärmestrom kann dann nur näherungsweise richtige Ergebnisse liefern, weil lokale Werte von dT(x)/dx stark vom mittleren Temperaturabfall über die Dicke, -ΔT/D = –(T₁ – T₂)/D, abweichen können.

Unter stationären Bedingungen können große Abweichungen zwischen dT(x)/dx und ΔT/D auf stark temperaturabhängiger Wärmeleitfähigkeit des Grundmaterials oder auf hohe Strahlungsbeiträge hinweisen, große Temperaturgradienten nahe den Begrenzungswänden auf schwache thermische Ankopplung der untersuchten (trockenen) Substanz an ihre Umgebung, nämlich die Behälterwände. Im Spezialfall eines nicht-wärmeleitenden Mediums und sehr kleiner Emissionskoeffizienten, können sogar beträchtliche Temperatursprünge an den Wänden auftreten (Viskanta [75], und darin zitiert seine frühere Arbeiten mit R. J. Grosh).

Gekrümmte Temperaturprofile offenbaren auch die Kopplung der Wärmestromkomponenten untereinander (sie können aber auch bei nicht-stationären Bedingungen vorliegen, ohne dass man daraus auf Kopplungen schließen könnte).

Schwache thermische Kopplung der untersuchten Substanz an die Wände des Behälters liegt vor, wenn die optische Dicke des Mediums klein ist. Der tatsächliche Hintergrund für Pseudo-Wärmeleitfähigkeit und scheinbare Wärmeleitfähigkeit kann demnach derselbe sein. Wenn man von scheinbarer Leitfähigkeit spricht, wird implicit angenommen, dass der Gradient dT(x)/dx, obwohl lokal stark verschieden, jedenfalls überall in der betrachteten Substanz definiert ist. Das muss nicht unbedingt erfüllt sein: In einem Medium, für das eine scheinbare Leitfähigkeit berechnet wurde, kann es durchaus sein, dass lokale Werte dT(x)/dx bereichsweise überhaupt nicht existieren; der Extremfall ist ein Dewar-Gefäß. Dort sind ja nicht nur der Gradient dT(x)/dx sondern bereits das Temperaturfeld selbst nicht definiert.

Schwache Kopplung einer Folienisolierung, starke Kopplung eines dispersen Mediums an Behälterwände dürfen beide als Normalfall von Superisolierungen angesehen werden. Interessant ist die Frage, ob starke Kopplung eines dispersen Mediums an Folien zur Verbesserung von Superisolierungen geeignet sein könnte. Dieser Fall liegt z. B. vor, wenn beabsichtigt wird, Wärmeverluste von Schüttungen durch Einbringen von Folien zu verringern. Das kann nicht gelingen.

Abgesehen davon, dass es kaum möglich ist, eine solche „Kombi-Isolierung“ auf sehr kleinen Restgasdruck zu evakuieren, um die Vorteile von Folien ausnutzen zu können, führt starke Kopplung der Schüttung an Folien (wenn sich nach diesem Vorschlag Folien und Schüttung berühren sollten) dazu, dass benachbarte Festkörperteilchen der Schüttung durch metallische Zwischenlagen thermisch kurzgeschlossen werden. Man misst also die Wärmeleitfähigkeit der Schüttung, wenn man sie mit Folien versieht und hat sich überdies den Nachteil eingehandelt, dass laterale Verlust-Wärmeströme durch die Folien hinzukommen, welche die Qualität der Isolierung verschlechtern können.

Über den umgekehrten Vorschlag, nämlich Folienisolierungen durch Schüttungen zu verbessern, wird von Kaganer [1], dort Kap. 6, berichtet. Gemeint ist, dass die Schüttung dazu beitragen könnte, auf das für die Folien erforderliche Hochvakuum zu verzichten. Kaganer erwähnt Verbesserungen (höherer zulässiger Restgasdruck, verringerte Wärmeverluste, längere Standzeit der Isolierung), zählt aber auch eine Reihe von Problemen auf, welche den Vorschlag für die Praxis als nicht geeignet erscheinen lassen (wie wollte man Faserschüttungen zwischen die Folien einbringen, und wie diese evakuieren?).

Wieder eine andere Situation findet man vor, wenn der Gasdruck zwischen Folien (sonst leer) auf hohe Werte ansteigt. Jetzt ist es das Gas, was benachbarte Folien thermisch koppelt, allerdings nicht sehr erfolgreich, da die Wärmeleitfähigkeit des Gases auch bei Normaldruck noch klein ist. Direkte Strahlungstransmission von der warmen auf die kalte Seite wird mit den Folien zwar unterbunden, jedoch schließen umgekehrt die Folien benachbarte Gasschichten thermisch kurz. Man wird daher an dem Aggregat lediglich die Wärmeleitfähigkeit des Gases messen.

Pseudo- und scheinbare Leitfähigkeit sind also keine Synonyme, mögen sie auch gemeinsamen Ursprung haben.

Mindestens erforderlich optische Dicke

Wir gehen wieder von stationären Bedingungen aus (für nicht-stationäre Bedingungen s. Schluss dieses Unterabschnitts). Die Forderung nach einer mindestens erforderlichen optischen Dicke, τ₀ = E D ≥ 15, die in Abschn. 3.3 als Kriterium für ein nicht-transparentes Medium der Dicke D (gesamte Dicke der Isolierung) genannt wurde, geht auf Standardliteratur zum Strahlungstransport zurück. Das allgemeine Strahlungs-Streuproblem bei großer optischer Dicke ist ebenso wie die Verwendung effektiver, bezüglich anisotroper Streuung korrigierter Extinktionskoeffizienten spätestens seit den Arbeiten Chandrasekhars [76], Kap. 1, diskutiert worden.

Später hat u. a. Caps et al. [51] dieses Problem in einer Monte Carlo-Simulation untersucht und die Strahlungstransmission in einem homogenen Medium in Abhängigkeit von der optischen Dicke berechnet. Als Strahlungsquelle wurde eine stark fokussierte, anisotrop gerichtete, punktförmige Quelle angenommen, und überprüft, ob diese Anisotropie auch nach Durchgang durch das Medium noch beobachtbar ist. Nach dem Weg τ₀ ≥ 15 (also nach mindestens 15 mittleren freien Weglängen) war die restliche, nicht absorbierte sondern verbliebene, remittierte oder gestreute Laserstrahlung isotrop verteilt, d. h. eine wichtige Eigenschaft der ursprünglichen Strahlungsquelle konnte nicht mehr identifiziert werden. Wenn dies für beliebige Wellenlängen und beliebige Positionen der Quelle erfüllt ist, darf man von einem nicht-transparenten Medium sprechen. Hohe optische Dicke heißt nicht „keine Strahlung“; denn an jedem Punkt einer Schüttung kann eine Strahlungsintensität gemessen werden, sie stammt eben nur von diesem oder aus der unmittelbaren Umgebung dieses Punkts; dessen Temperatur und damit seine lokale Strahlungsemission kann in einem dispersen Medium auch durch Wärmeleitung zustande kommen (es bedarf trivialerweise nicht unbedingt einer Strahlungsausbreitung, um in einer Schüttung lokal eine Temperaturverteilung zu erzeugen).

In weiteren Monte Carlo-Simulationen ([77]) haben wir untersucht, wie sich eine ausgedehnte Strahlungsquelle auf die Ergebnisse auswirkt, wenn sehr viele Bündel unpolarisierter Strahlung an zufällig ausgewählten, über die endliche Fläche verteilten Aufpunkten emittiert werden und mit schwach oder stark anisotroper Streuung und mit der Albedo Ω < 1 (also mit Streuung und Absorption) gerechnet wird. Solche Simulationen beschreiben Strahlungstransport in dispersen Medien (wie Wärmeisolierungen) realistischer als die Annahme scharf fokussiert einfallender, monochromatischer Laserstrahlung. Ergebnisse für die aus einer dünnen Schicht austretenden Reststrahlung sind in Abb. 43 aufgetragen. Man erkennt, dass mit zunehmendem Extinktionskoeffizienten die bei z = D austretende restliche Strahlung sich immer mehr dem Lambertschen Cosinusgesetz annähert und die Austrittsfläche aus jeder Blickrichtung gleich hell erscheint (weil die Rest-Strahlungsintensität nicht von der Blickrichtung abhängt).

Abb. 43

Winkelverteilung der nicht absorbierten Strahlungsbündel, die an der Stelle y = 0 (Vorderseite einer ausgedehnten Quelle) emittiert wurden und bei y = 1 mm (Rückseite) nach interner Vielfach-Absorbtion/Remission oder Streuung aus der dünnen Schicht austreten. Die Ergebnisse wurden mit dem Anisotropiefaktor m_S = 2 (leichte Vorwärtsstreuung, wie bei vielen Isolierungswerkstoffen zu erwarten) und der Albedo Ω_c = 0,5 (Absorption und Streuung bei jeder Einzel-Wechselwirkung von Strahlung mit einem Streuzentrum gleich wahrscheinlich) berechnet; vergl. zu m_S und Ω_c die Erläuterungen in Abschn. 2.1 von [77]. Die Anzahl der bei y = 0 emittierten Bündel ist N = 5 × 10⁴. Die optische Dicke der Schicht beträgt τ₀ = E D = 5, 10 bzw. 50 mittlere freie Weglängen für die Extinktionskoeffizienten E [m⁻¹] = 5 × 10³ (oliv), 10⁴ (hellgrüne) and 5 × 10⁴ (dunkelgrüne Rauten). Das Lambertsche Kosinusgesetz ist durch die durchgezogene Kurve dargestellt. Die Zählraten sind in relativen Einheiten auf das Maximum der Lambertschen Kurve normiert. Je größer der Extinktionskoeffizient ist, umso mehr nähern sich die Rauten der diffusen Lambertschen Verteilung an, und umso weniger kann umgekehrt aus der Verteilung der Bündel bei y = 1 mm auf Einzelheiten der Strahlungsquelle (hier die Emissionsrichtung) geschlossen werden. Das gleiche Ergebnis wird auch erzielt, wenn die Strahlungsquelle stark anisotrop emittiert (vergl. Abb. 24 und 25 in [77])

Für nicht-stationäre Bedingungen muss die Forderung τ₀ ≥ 15 präzisiert werden. Wenn man nicht τ₀ = E D sondern allgemein τ = E x (x < D) schreibt, liegt isotrope Intensitätsverteilung nicht erst bei x = D vor sondern schon bei x < D, vorausgesetzt, dass der Extinktionskoeffizient groß genug ist. Wenn also am Rand (x = 0) einer Superisolierung der Dicke D eine transiente Strahlungsquelle liegt, wird das Diffusionsmodell schon dann anwendbar, wenn nicht erst bei x = D sondern schon früher, bei irgendwelchen x’ < D, die Forderung τ ≥ 15 bereits erfüllt ist. Da der Extinktionskoeffizient nicht unendlich groß sein kann, muss es also einen endlichen „Randstreifen“ (x ≪ D) geben, in dem das Diffusionsmodell nicht gilt (erst bei x’ ist es wieder ein Diffusionsvorgang). Hierauf ist bei transienten Berechnung des Strahlunsgtransports in kontinuierlich aufgebauten Superisolierungen zu achten. Mehr dazu bei Petrov [78].

Kopplung von Wärmeströmen untereinander

Am einfachsten wird das Problem „Kopplung von Wärmeströmen“ anhand der für die jeweiligen Wärme- oder Stoffströme geltenden Differenzialgleichungen erläutert. Zwei Differenzialgleichungen sind miteinander gekoppelt, wenn die eine Gleichung mindestens eine Variable der anderen enthält. Die Variablen können vektorielle oder skalare Größen sein, die in beiden Gleichungen zu gleichzeitig zu erfüllenden Bilanzen (Erhaltungsgrößen) beitragen.

Ein Beispiel, wie die skalare Variable „Temperatur“ die Kopplung zwischen zwei Differenzialgleichungen vornimmt, zeigt sich beim Zusammenspiel der Strahlungstransportgleichung mit der Energieerhaltungsgleichung (nachzulesen z. B. bei Siegel und Howell [20] oder bei Viskanta in [75] oder in anderen (allgemeineren, weniger technisch orientierten) Standardwerken über Strahlungstransport, etwa bei Chandrasekhar). Bezogen auf eine Superisolierung bestimmt im stationären Zustand des Systems die Temperatur (a) das Strahlungsfeld und (b) über den temperaturabhängigen Wärmeleitungs- plus Strahlungsstrom auch die Erhaltungsgröße „Gesamt-Verlustwärmestrom“. Petrov [78] hat die Kopplung zwischen Energieerhaltungs- und Strahlungstransportgleichung für einen solchen Anwendungsfall am Beispiel einer Faserisolierung für das Space Shuttle beschrieben.

Ein anderes Beispiel ist die Kopplung von Wärme- und Stofftransport in der Strömungsmechanik. Dort sind Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Masse), Navier-Stokes-Gleichung (Erhaltung des Impulses) und die Forderung nach Erhaltung der thermischen Energie miteinander gekoppelt. Kopplung kommt wieder durch die Temperatur, nämlich durch die Temperaturabhängigkeit von Wärmeleitung, Dichte und Viskosität des strömenden Fluids zustande.

Für die strenge Behandlung des Strömungsproblems in Schüttungen sind die in Luikov [22], Kap. 6, genannten Gleichungen für den Wärme- und Stofftransport in dispersen Medien zu lösen. In den allermeisten Fällen ist die Lösung viel zu aufwändig, wenigstens sollte dann der Einfluss von Kopplungen auf die Wärmeverluste experimentell untersucht werden, wenn mehr als nur grobe Abschätzungen benötigt werden.

Entscheidend ist es, die Kopplung von ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Gas}}$ und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ an ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad}}$ oder von λ_Gas und λ_FK an λ_Rad durch geeignete Modellansätze, vor allem bei eventuell starker Temperaturabhängigkeit bzw. Konzentrationsabhängigkeit der beiden erstgenannten Komponenten, zu behandeln. Die „additive Näherung“ in Gl. (10a) und (10b) dürfte in industriellen Anwendungsfällen nur dann ausreichend genaue Ergebnisse liefern, wenn man in den Komponenten ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Gas}}$ und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ oder den entsprechenden Leitfähigkeiten hiervon ganz absehen kann. Ob dies erfüllt ist, muss in jedem Anwendungsfall geprüft werden. Nach Abschn. 3.4 ist diese Voraussetzung indessen erfüllt, wenn es sich um nicht-transparente Superisolationen handelt, in denen auch der Festkörperwärmetransport wie einem Diffusionsvorgang verstanden werden kann.

Streng genommen schließt sich Kopplung der Wärmeströme aus, wenn z. B. λ_Gas oder andere Komponenten der Gesamtwärmeleitfähigkeit Pseudo-Wärmeleitfähigkeiten sind. Es gibt dann kein (differenzierbares) Temperaturprofil, das über Energieerhaltung die Komponenten miteinander verknüpfen könnte.

Demgegenüber ist die Ausbildung von Menisken oder von konvektiven Wärmeströmen (Abb. 10a, b) in der Nähe der Kontaktflächen einer Schüttung noch nicht Zeichen oder Folge von einer Kopplung von Wärmestromkomponenten (damit im Zwickel zwischen zwei sphärischen Teilchen ein Meniskus kondensiert, muss lediglich die Oberflächentemperatur der Teilchen niedriger als die Kondensationstemperatur des Fluids sein). Es wird die Hinzunahme weiterer Terme in Gl. (10a) und (10b) erforderlich.

Denn allein die Tatsache, dass man in Gl. (10a) die additive Näherung auf die in den ersten Abschnitten dieses Kapitels berechneten Wärmeströme ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Gas}}$, ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad}}$ und die additive Näherung in Gl. (10b) für λ_Gas, λ_FK und λ_Rad verwendet, sagt ja, dass bereits zuvor von der Berücksichtigung von Kopplungen dieser Größen untereinander abgesehen wurde; denn keine der Größen enthält Variablen der anderen oder gemeinsame Variablen wie das lokale Temperaturprofil T(x) oder den lokalen Gradienten dT(x)/dx, und das gilt auch für eine eventuelle zusätzliche Komponente hinsichtlich Menisken. Die additive Näherung verneint vielmehr jede Kopplung, da keine der ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Gas}}$, ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad}}$ oder λ_Gas, λ_FK und λ_Rad sich auf das Temperaturprofil oder auf andere Variablen stützen, die durch die jeweils anderen beeinflusst würden. In den Gl. (2a), (2b), (2c) und (5), (6) bis (9) sowie mit ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ wie in Abschn. 2.2 beschrieben, sind nämlich ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Gas}}$, ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad}}$ und λ_Gas, λ_FK und λ_Rad jeweils unabhängig vom aktuellen Temperaturprofil ermittelt (bestenfalls hat man temperaturgemittelte Erfahrungswerte, z. B. einen Mittelwert von λ_Gas, aus Tabellen verwendet). Es kommen beim Problem „Menisken“ zu Gl. (10a) und (10b) also lediglich weitere, jeweils unabhängig voneinander ermittelte Komponenten hinzu. Wärmestrom bzw. Wärmeleitung über das Kondensat bzw. konvektive Wärmeströme in Kapillaren kann man sogar in den Anteil ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ oder λ_FK einbeziehen und sie als scheinbare Vergrößerung des Kontaktradius in Gl. (17) oder (18) interpretieren, aber das ist eine gewagte Näherung.

Eine tatsächliche Kopplung zwischen ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Gas}}$ und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ oder von λ_Gas und λ_FK und die durch Kopplung hervorgerufene Vergrößerung dieser Komponenten kann nicht bewiesen und damit auch nicht quantifiziert werden, solange in jeder Wärmestromkomponente das lokale Temperaturfeld nicht explicit enthalten ist und hiermit die Energieerhaltungsgleichung gelöst wird. Alles andere sind bestenfalls Erweiterungen durch unabhängig voneinander abgeschätzer Zusatzterme oder gar nur Plausibilitätsbetrachtungen.

Energieerhaltung könnte empfindlich verletzt sein, wenn dies nicht beachtet wird. Das kann selbst dann der Fall sein, wenn abhängig (d. h. korrekt) voneinander ermittelten Komponenten nachträglich Terme hinzugefügt werden, die selbst unabhängig von den schon ermittelten Lösungen abgeschätzt wurden.

Anhang A2: Materialdaten

Thermisches Emissionsvermögen von Festkörpern und dünnen Folien

Touloukian [79] ist eine der am meisten zitierten, traditionellen Literaturstellen, die neben Kap. „K1 Wärmestrahlung technischer Oberflächen“ für experimentelle Werte von integrierten (totalen), hemisphärischen Emissionsvermögen von Festkörperoberflächen (nicht metallisierte Folien!) herangezogen werden können. Für massive Al-Oberflächen werden dort berichtet die folgenden Werte:

7)	„Alcoa No. 2 reflector plate measured in vacuum“:	ɛ. = 0,026 at 76 K
8)	„Alcoa No. 2 reflector plate sanded with fine emery“:	ɛ. = 0,032 at 76 K
9)	„Alcoa No. 2 reflector plate cleaned with alkali“	ɛ. = 0,035 at 76 K
12)	„sheet, liquid honed“	ɛ. = 0,14 at 76 K
31)	„plate hand-polished“	ɛ. = 0,06 at 227

Während diese Daten die Abhängigkeit der Emissionsvermögen von der Oberflächenqualität des Festkörpers Aluminium aufzeigen, muss beachtet werden, dass sie nicht automatisch auch für die Eigenschaften dünner Al-Filme gelten können, insbesondere nicht für aluminisisierte, dünne Polymerfolien. Im Allgemeinen sind Wärme- und Strahlungstransport und damit auch Emissionsvermögen von dünnen Schichten verschieden von den entsprechenden Eigenschaften der Oberflächen massiver Festkörper.

Zuerst ist anzumerken, dass dünne Filme nicht unter thermodynamischen Gleichgewichtsbedingungen aufwachsen. Die Konzentration von Defekten kann daher groß sein. Die Wärmeleitfähigkeit ist durch Streuung der Elektronen an Grenzflächen, Gitterfehlern, Texturen und Korngrenzen stark herabgesetzt. Weiter kann bei tiefen Temperaturen die mittlere freie Weglänge, l_e, von Elektronen größer sein als die Dicke d, von z. B. auf Mylar aufgedampften Al-Schichten. Bei Raumtemperatur beträgt l_e in reinem Al etwa 40 nm, das ist gerade die Dicke einseitig bedampfter Al-Filme auf Mylarfolien.

Zum zweiten, wenn l_e groß ist gegenüber der Eindringtiefe l_E elektromagnetischer Strahlung, unterliegen die Elektronen im Film den Variationen der Feldstärke, d. h. man beobachtet den anomalen Skin-Effekt. Wenn die Dicke des Films sehr klein ist, vergrößert der anomale Skin-Effekt das thermische Emissionsvermögen des Al-Films umso mehr, je tiefer die Strahlungstemperatur ist. Für Strahlungsströme bei T ≥ 30 K wurde diese Tendenz in den Untersuchungen von [80] Abb. 4, Tab. 1, bestätigt. Erst bei T ≥ 200 K ergibt sich allmählich wieder größenordnungsmäßige Übereinstimmung zwischen berechneten und gemessenen Strahlungsströmen, wenn das gewohnte Drudesche Modell den Berechnungen des Emissionsvermögens zugrunde gelegt wird.

Strahlungseigenschaften dünner Filme können gefunden werden z. B. bei [81] und speziell für Al-beschichtete Polymerfolien in kürzlich veröffentlichten Berichten wie z. B. [82] und [83].

In [82] wird berichtet über sehr kleine Emissionsvermögen für Al-bedampfte Polyesterfolien, zwischen 0,012 ≤ ɛ ≤ 0,018, bei Temperaturen zwischen 30 and 140 K.

Die Emissionsvermögen einfach- oder doppelseitig metallisierter Polymerfolien unterscheiden sich signifikant, da das Emissionsvermögen der unbeschichteten Seite größer ist als das der beschicheteten. Al-Filme mit Dicken unter 40 nm sind teilweise infrarotstrahlungstransparent. Ein Infrarot-„Beobachter“ sieht daher auch die Emissionseigenschaften des darunter liegenden Polymerfilms (d. h. das Substrat der aufgedampften Schichten). Korrelationen zwischen Dicke von aufgedampften Al-Filmen mit dem elektrischen Oberflächenwiderstand werden von [23], S. 400, Tab. 1, berichtet. Solche Angaben findet man auch in den Produktbeschreibungen der Hersteller von Folien-Superisolationen.

Spacermaterialien verlangen eine Korrektur der Emissionsvermögen der Metall- oder metallisierten Folien, wenn ihre Flächendichte signifikant groß ist. Tien und Cunnington [38] berichten von effektiven thermischen Emissionsvermögen, ɛ = 0.4, eines Stapels kontinuierlicher Mylarfolien (die Emissionsvermögen der reinen Mylarfolien, d. h. ohne Spacer, sind ja viel kleiner). Die Flächendichte zeitgemäßer Spacermaterialien ist allerdings nur sehr gering und beträgt etwa 5 g/m², bei 50 μm dicken Filamenten und einer Maschenweite von etwa 2 mm (vgl. Abb. 3d). Der Beitrag dieses Spacers zur Strahlungsausbreitung ist daher nur sehr klein. Dies wird anders, wenn Glasfaserpapiere oder andere Spacermaterialien mit höherer Flächendichte verwendet werden.

Mit Glasfaserpapier als Spacermaterial ist in [84] Abb. 3 ein „effektives“ thermisches Emissionsvermögen einer reinen Al-Oberfläche berichtet worden. In der dort beschriebenen Apparatur wurde entweder eine reine Al-Oberfläche oder die gleiche Oberfläche mit einer Lage Spacermaterial bedeckt zwischen Strahler- und Absorberflächen angeordnet. Der Unterschied wird besonders groß bei Strahlungstemperaturen unter 100 K, wo das Emissionsvermögen durch den Spacer auf ɛ > 0,3 ansteigt. Ob man das Emissionsvermögen von elektrisch leitenden und nichtleitenden Substanzen in einem Strahlungsfeld physikalisch korrekt in Effektivwerten zusammenfassen kann, ist aber zumindest diskussionswürdig.

Ausgasungsverhalten von Werkstoffen für Folien-Superisolationen

In [85] wird über die spezifische Gasabgabe von Polymerfolien und Spacer-Materialien bei T = 294 K berichtet sowie über die Druckdifferenz Δp_Z-R, die sich zwischen Zentrum (Index Z) und Rand (R) einer Vielschicht-Folienisolierung ausbildet. Als Prüfling wurde ein schmales Band aus Al-beschichteten Mylarfolien und Glasfaserspacer auf einen Stahlzylinder hergestellt. Der lichte Abstand zwischen den Wicklungen betrug 0,3 mm. Die Ergebnisse aus [85] sind in Tab. 10 enthalten und in die Dimensionen [(Pa m³/s)/m²] bzw. [Pa] umgerechnet. Sie sind nach Angaben der Autoren repräsentativ für Superisolierungs-Blankets (wie das in Abb. 2c gezeigte Blanket), wenn zwischen Wicklung oder Blanket und Behälterwand kein Spalt besteht.

Tab. 10 Gasabgabe von Superisolationsmaterialien bei T = 294 K und Druckdifferenz zwischen Zentrum (Z) und Rand (R) einer Vielschicht-Folienisolierung. Alle Daten aus [85], Tab. 2 und 3 und aus der dort zitierten Literatur. Gasabgabe und Druckdifferenz wurden in der vorliegenden Tabelle in [(Pa m³/s)/m²] bzw. [Pa] konvertiert

Weiter sei auf transiente Simulationen [29] des Ausgasungsverhaltens und der Evakuierungsdauer hingewiesen, in welchen Desorptionsraten Al-beschichteter Polymerfolien und Spacermaterialien vor (Datensätze A und B in [29], Tab. 1) und nach Fluten mit trockenem Stickstoff (Datensatz C) sowie Permeationsraten von Stickstoff durch Edelstahlwände verwendet wurden (alle Datensätze sind experimentelle Ergebnisse aus der Fachliteratur).

Anhang A3: Transiente experimentelle Methode, um ${\dot{\mathbf{Q}}}_{\mathbf{FK}}$ from ${\dot{\mathbf{Q}}}_{\mathbf{Rad}}$ in Vielschicht-Superisolationen zu separieren

Aus Verdampfungsraten eines Speichertanks für kryogene Flüssigkeiten kann man, wie Kaganer [1] gezeigt hat, die Verluste über Wärmebrücken von den Strahlungsverlusten trennen.

Es seien ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total},\mathrm{st}}$ die totalen stationären Wärmeverluste des Speichertanks und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields},\mathrm{st}}$ die partiellen stationären Verluste durch seine evakuierte Superisolierung.

Die thermischen Brücken zwischen Innen- und Außenbehälter umfassen zwei Beiträge:

• (a) ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Bridge},\mathrm{st}}$ des Tombaks im Hals des Kryobehälters (ähnlich wie in Abb. 11 dargestellt), Abstützungen des inneren Behälters am äußeren sowie andere Festkörper/Festkörper-Brücken, wie z. B. Messleitungen

• (b) ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields},\mathrm{st}}$ also Strahlungsverluste durch Strahlungsaustausch zwischen Folien und Spacer sowie Festkörper/Festkörper-Wärmekontakte der Folien untereinander und zu ihrer Umgebung

Anders als in Abschn. 2 sind hier die Komponenten ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{FK}}$ und ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Rad}}$ der Folienisolierung in ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields},\mathrm{st}}$ bereits zusammengefasst, wogegen die ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Bridge},\mathrm{st}}$ die zusätzlichen Brücken bezeichnen, die nicht Verluste über die eigentliche Folienisolierung sind.

Wir haben für die stationären Verluste (Index st) als Bilanz

$$ {\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total},\mathrm{st}}={\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Bridge},\mathrm{st}}+{\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields},\mathrm{st}}. $$

(45)

Für die Differenz der stationären und transienten Verluste ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total}}$(t) leitet Kaganer [1], S. 164–167 aus den Verdampfungsraten der gespeicherten kryogenen Flüssigkeit den Ausdruck ab

$$ \ln \left[\left({\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total}}\left(\mathrm{t}\right)-{\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total},\mathrm{st}}\right)/{\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total},\mathrm{st}}\right]=\ln \left(2{\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields},\mathrm{st}}/{\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total},\mathrm{st}}\right)-{\pi}^2\;{\mathrm{D}}_{\mathrm{th}}\;\mathrm{t}/{\mathrm{D}}^2. $$

(46)

In Gl. (46) bezeichnen die Symbole D_th = λ’/(ρ c_p) das thermische Diffusionsvermögen (mit der Pseudo-Wärmeleitfähigkeit λ’; denn es handelt sich ja nicht um eine kontinuierlich aufgebaute Isolierung, auf die das Fouriersche Erfahrungsgesetz bzw. die Fouriersche Differenzialgleichung anwendbar wären). D ist die Dicke des Folienstapels.

Wenn man nach Gl. (46) die experimentellen transienten ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total}}$(t) in der Form

$$ \dot{\mathrm{Q}}\left(\mathrm{t}\right)=\ln \left[\left({\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total}}\left(\mathrm{t}\right)-{\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total},\mathrm{st}}\right)/{\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Total},\mathrm{st}}\right] $$

(47)

gegen die Zeit, t, aufträgt, geht die Kurve $\dot{\mathrm{Q}}$(t) bei großen Meßzeiten, t, allmählich in eine Gerade über, aus der D_th als Pseudo-Diffusionsvermögen und die Wärmeverluste ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields}}$ aus ihrem Steigmaß bzw. dem Schnittpunkt von $\dot{\mathrm{Q}}$(t) mit der Ordinate bei t = 0 entnommen werden können. Wenn Dichte und Wärmekapazität der Folien bekannt sind, lässt sich aus D_th die Strahlungsleitfähigkeit (als Pseudo-Strahlungsleitfähigkeit) der Isolierung ermitteln.

Grobe, eher nur größenordnungsmäßige Übereinstimmung mit Werten, die typisch für die Temperaturleitfähigkeit von Superisolierungen sind, wurde in einem numerisch simulierten Experiment [26] gefunden, ebenso für ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields},\mathrm{st}}$.

Die erfolgreiche Anwendung der von Kaganer vorgeschlagenen Methode hängt davon ab, ob man in der Kurve $\dot{\mathrm{Q}}$(t) einen hinreichend weiten linearen Verlauf findet, aus dem ${\dot{\mathrm{Q}}}_{\mathrm{Shields},\mathrm{st}}$ und D_th extrahiert werden können; die Messwerte sollten dazu nur wenig streuen.

Es wird empfohlen, Laborexperimente durchzuführen, um das Konzept zu bestätigen. Wenn es gelingt, das Verfahren für die Anwendung praktikabel zu machen, wird man Strahlungs- und Festkörperanteile in Folien-Superisolierungen und in evakuierten Schüttungen mittels transienter Messungen der Wärmeverluste voneinander trennen können.