Spektraldarstellung nichtperiodischer Vorgänge

Zusammenfassung

Für nichtperiodische Vorgänge ist eine diskrete Spektraldarstellung gemäß Gleichung (1.9) nicht möglich. Jedoch kann in den meisten Fällen eine kontinuierliche Spektralverteilung angegeben werden. Falls eine Funktion x(t) in einem beliebigen Intervall den Dirichletschen Bedingungen (s. Kapitel 1) genügt, so läßt sich x(t) als Fourier-Integral

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaabm % aabaGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maapedabaGaamiwamaa % bmaabaGaamOzaaGaayjkaiaawMcaaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaadM % gacaaIYaGaeqiWdaNaamOzaiaadshaaaGccaWGKbGaamOzaaWcbaGa % eyOeI0IaeyOhIukabaGaeyOhIukaniabgUIiYdaaaa!4C03!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$x\left( t \right) = \int_{ - \infty }^\infty {X\left( f \right){e^{i2\pi ft}}df}$$

(2.1)

mit

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiwamaabm % aabaGaamOzaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maapedabaGaamiEamaa % bmaabaGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaiaadwgadaahaaWcbeqaaiabgk % HiTiaadMgacaaIYaGaeqiWdaNaamOzaiaadshaaaGccaWGKbGaamiD % aaWcbaGaeyOeI0IaeyOhIukabaGaeyOhIukaniabgUIiYdaaaa!4CFE!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right){e^{ - i2\pi ft}}dt}$$

(2.2)

bzw. in der Form

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaabm % aabaGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maapedabaGaamyzamaa % CaaaleqabaGaamyAaiaaikdacqaHapaCcaWGMbGaamiDaaaaaeaacq % GHsislcqGHEisPaeaacqGHEisPa0Gaey4kIipakmaapedabaGaamiE % amaabmaabaGaeq4WdmhacaGLOaGaayzkaaGaamyzamaaCaaaleqaba % GaeyOeI0IaamyAaiaaikdacqaHapaCcaWGMbGaeq4WdmhaaOGaamiz % aiabeo8aZjaadsgacaWGMbaaleaacqGHsislcqGHEisPaeaacqGHEi % sPa0Gaey4kIipaaaa!5DB7!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$x\left( t \right) = \int_{ - \infty }^\infty {{e^{i2\pi ft}}} \int_{ - \infty }^\infty {x\left( \sigma \right){e^{ - i2\pi f\sigma }}d\sigma df}$$

(2.3)

darstellen. Dabei soll die Bedingung, daß x(t) beschränkt ist, in der modifizierten Form gelten, daß das Integral

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qmaeaada % abdaqaaiaadIhadaqadaqaaiaadshaaiaawIcacaGLPaaaaiaawEa7 % caGLiWoaaSqaaiabgkHiTiabg6HiLcqaaiabg6HiLcqdcqGHRiI8aO % Gaamizaiaadshaaaa!447A!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\int_{ - \infty }^\infty {\left| {x\left( t \right)} \right|} dt$$

konvergiert, x(t) also zur Klasse der absolut integrierbaren Funktionen gehört. Hierunter fallen z.B. alle Vorgänge, die zu einem festen Zeitpunkt beginnen und endliche Energie besitzen.