Exakte Differentialgleichungen und integrierender Faktor

Zusammenfassung

Wie Sie wissen, ist eine Dgl.

$${\rm{f}}({\rm{x;y}}) + {\rm{g(x;y)y' = 0}}$$

, die in der Normalform

$${\rm{f}}({\rm{x;y}}){\rm{dx}} + {\rm{g(x;y)dy = 0}}$$

(1)

geschrieben werden kann, genau dann eine exakte (vollständige oder totale) Dgl., wenn f(x;y) und g(x;y) die Integrabilitätsbedingung

$${{\rm{f}}_{\rm{y}}}({\rm{x;y}}) = {{\rm{g}}_{\rm{x}}}{\rm{(x;y)}}$$

(2)

erfüllen. Das ist dann der Fall, wenn die linke Seite von (1) das totale Differential

$${\rm{dF = }}{{\partial {\rm{F}}} \over {\partial {\rm{x}}}}{\rm{dx}}\,{\rm{ + }}\,{{\partial {\rm{F}}} \over {\partial {\rm{y}}}}{\rm{dy}}$$

einer Funktion F(x;y) ist. Es sind also

$${\rm{f}}({\rm{x;y}}) = {{\rm{F}}_{\rm{x}}}{\rm{(x;y) und}}\,{\rm{g(x;y) = }}{{\rm{F}}_{\rm{y}}}({\rm{x;y}})$$

.