Zusammenfassung
Wir wollen in diesem Paragraphen folgende Erscheinung untersuchen: In einer Umgebung U von O ∈ R 2 sei ein Vektorfeld Y definiert. Ferner sei O die einzige Nullstelle von Y. Wir legen um O einen Kreis K, der ganz in U liegt.
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Zu Kapitel IV §2
Es sei E = E(X n, R n, SO(n), π) ein Vektorraumbündel über der kompakten orientierten Mannigf altigkeit X n mit der Strukturgruppe SO(n). Wir können auch hier das assoziierte Sphärenbündel S E - S(X n, S n-1, SO(n)) bilden, das aus den eindimensionalen Unter¬räumen der Fasern π -1 (x) besteht. Einer isolierten Singularität eines lokalen Schnittes von S E kann hier ganz analog ein ganzzahliger Index zugeordnet werden. Es sei ω die Struktur¬form eines Zusammenhanges in dem zu E assoziierten Hauptfaserbündel H(X n, SO (n)). Aus den Komponenten von ω und der Krümmungsform Ω bilden wir nach den Formeln (2), (3), (4) die Differentialformen Σ, φ k , Ψ k . Die Überlegungen des Paragraphen lassen sich auf die vorliegende Situation verallgemeinern. Wir können die Indexsumme eines Schnittes in S als Integral (\(\Sigma I = \int\limits_{{X^n}} {\bar \Sigma = \chi (E)} {\kern 1pt} (\bar\Sigma = 0,wenn{\kern 1pt} n{\kern 1pt} ungerade{\kern 1pt} ist)\) (1) darstellen. (1) zeigt, daß die Indexsumme nicht von dem betrachteten Schnitt abhängt. Das der Form Σ̄ entsprechende Element von H n(X n ,R) nennt man Eulersche Klasse des Bündels E (vgl. S. Kobayashi, K. Nomizu [2]). Das Verschwinden von χ(E) ist not¬wendig und hinreichend für die Existenz eines globalen Schnittes von S E . Aber E = T(X n) ist nicht der einzige interessante Spezialfall von (1). Es sei X 2n eine Riemannsche Mannig¬faltigkeit und i: Y n →X 2n eine Immersion einer kompakten Mannigfaltigkeit Y n. Im Hauptfaserbündel der orthonormierten Repers haben wir einen ausgezeichneten Zusam¬menhang (vgl. § II.14). Wir setzen X und Y als orientiert voraus und beschränken uns auf positiv orientierte Repers. Nun betrachten wir das Normalbündel N(X n) der Immersion. χ(N) läßt sich hier als Indexsumme eines Normaleneinheitsvektorfeldes deuten. χ(N) wurde zuerst von H. Whitney betrachtet, und die Formel (1) ist schon von S. S. Chern in [4] für N(Y n) aufgestellt worden. Wenn wir (\(\hat\Pi\) über das Sphärenbündel S T des Tangentenbündels von Y n integrieren, er¬halten wir nach einer längeren Rechnung, die zu der in § V. 4 ausgeführten analog ist, die interessante Integralformel \(\int\limits_{{S_T}} {\hat \Pi = \chi (N)} \) (2) (2) Im Spezialfall X 2n = R 2n können wir daher die Eulersche Zahl χ (N) des Normalenbündels von Y n⊂R 2n als Abbildungsgrad der Tangentialabbildung t : S(Y n) → S 2n-1 deuten.
§3
Die Formel (3) bleibt unter geeigneten Regularitätsvoraussetzungen auch für Körper mit stückweise glattem Rand gültig. Für diese Körper gilt (\(\int\limits_G {\bar \Sigma + \int\limits_{\partial G} {\hat \Pi+ }\int\limits_W {\hat \Pi} =\chi (G)}\) (1) Die Untermannigfaltigkeit W von S(X n) ist eine Art Außenwinkel über den Ecken, Kanten, Flächen usw. von ∂G C. B. Allendoerfer und A. Weil [1] bewiesen (1) zuerst für krummlinige Simplexe und erhielten die Integralformel dann durch Addition über alle Simplexe einer Triangulation von G.
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© 1972 Springer Basel AG
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Sulanke, R., Wintgen, P. (1972). Die Integralformel von Gauss-Bonnet-Chern. In: Differentialgeometrie und Faserbündel. Mathematische Reihe, vol 48. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5949-3_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5949-3_4
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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Online ISBN: 978-3-0348-5949-3
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