Zusammenfassung
Die vorliegenden Untersuchungen sind entsprungen aus einer Anregung, welche ich Herrn Weierstrass, meinem hochverehrten Lehrer, verdanke. Es handelt sich darum, die speziellen Eigentümlichkeiten der Perioden solcher Abel’scher Integrale zu erforschen, welche zu einem reellen algebraischen Gebilde gehören. Hierbei ist unter einem „reellen“ algebraischen Gebilde die Gesamtheit aller Wertepaare (x, y) zu verstehen, welche einer irreduzibeln algebraischen Gleichung
Genüge leisten, deren Koeffizienten sämtlich reell sind. Die sich hier darbietenden, auf die Realität der Perioden bezüglichen Fragen sind an und für sich von Interesse ; man darf aber auch von einer gründlichen Erforschung dieses Gegenstandes kräftige Hilfsmittel erhoffen für die Untersuchung der Realitäts-Verhältnisse bei algebraischen Kurven, welche durch Gleichungen mit durchaus reellen Koeffizienten definiert werden.
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Referenzen
Nach dem, was oben bemerkt wurde, gilt dieser Satz auch für die Perioden der A be Ischen Integrale bei reellen algebraischen Gebilden. Für den hyperelliptischen Fall ist dieses seit langem bekannt: cf. Henoch: „De Abelianarum Functionum Periodis“. Inaugural-Dissertation; Berlin. Für den allgemeinen Fall n = 3, siehe auch: F. Klein: „Über den Verlauf der Abelschen Integrale bei den Kurven vierten Grades“. Mathem. Annalen, Bd. 10 (1876), S. 365–397; [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 99–135],
Der Satz setzt sich, wie der nachfolgende Beweis zeigt, aus den beiden Sätzen zusammen :
Eine 2n-fach periodische Funktion der betrachteten Art kann nicht mehr als n von einander unabhängige reelle Perioden besitzen.
Desgleichen kann es nicht mehr als n von einander unabhängige rein imaginäre Perioden einer solchen Funktion geben.
Siehe Riemann: „Beweis des Satzes, dass eine einwertige mehr als 2n-fach periodische Funktion von n Veränderlichen unmöglich ist“, Werke, 2. Auflage, S. 294–297.
Zwei Periodensysteme heissen „äquivalent“ oder „gleichwertig“, wenn die Perioden jedes derselben sich ganzzahlig aus den Perioden des anderen zusammensetzen lassen.
Dass alle diese Klassen wirklich existieren, folgt z. B. aus der Theorie der hyperelliptischen Funktionen.
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Hurwitz, A. (1932). Über die Perioden solcher eindeutiger, 2n-fach periodischer Funktionen, welche im Endlichen überall den Charakter rationaler Funktionen besitzen und reell sind für reelle Werte ihrer n Argumente. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_5
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