Zusammenfassung
Bei der Untersuchung der Wurzeln von transzendenten Gleichungen kann man häufig den folgenden Satz mit Nutzen verwenden:
„Es mögen in einem Bereiche B der z- Ebene die Punktion f(z) und jede der Funktionen φ 1(z), φ 2(z),... den Charakter einer rationalen Funktion besitzen. Ferner sei in demselben Bereiche gleichmässig \(\mathop {\lim }\limits_{n = \infty } {\varphi _n}(z) = f(z)\). Sucht man dann die Wurzeln der Gleichungen
$${\varphi _1}(z) = 0,{\varphi _2}(z), \ldots {\varphi _n}(z) = 0, \ldots ,$$so sind, in dem Bereiche B, die Häufungsstellen dieser Wurzeln identisch mit den Lösungen der Gleichung f(z) = 0. Und zwar liegen in einer noch so kleinen Umgebung einer r-fachen Wurzel der Gleichung f(z) = 0 genau r Wurzeln der Gleichung φ n(z) = 0, sobald n eine bestimmte (von der gewählten Umgebung abhängende) Zahl überschreitet.“
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Referenzen
Mathem. Annalen, Bd. 33 (1889), S. 246–266. [Diese Werke, Bd. I, S. 266–286.]
Vgl. Cauchy, Exercices de Mathématiques, Bd. 1, Paris 1826. [Oeuvres, 2e série, vol. VI, p. 354–100.] Es werden hier mehrere spezielle Fälle der Gleichung (1) nach einer von Poisson herrührenden Methode behandelt.
Acta Mathematica, Bd. 4 (1884), S. 116. [Oeuvres, vol. I, p. 201.]
Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, Berlin, 1878/81, Bd. 1, S. 19 der zweiten Auflage.
[[Formel (13) ist durch Vertauschung von z und -z abgeändert. — G. P.]]
Man vergleiche die Abhandlungen von Markoff, Sur les racines de certaines équations, Mathem. Annalen, Bd. 27 (1886), S. 177–182 und von Stieltjes, Sur les racines de l’équation X n = 0, Acta Mathematica, Bd. 9 (1887), S. 385–400 [Oeuvres complètes, vol. 2, p. 73–88].
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Hurwitz, A. (1932). Über die Wurzeln einiger transzendenten Gleichungen. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_17
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