Über den Satz von Budan-Fourier

Zusammenfassung

Der Satz von Budan-Fourier gibt bekanntlich eine obere Grenze für die Anzahl der Wurzeln einer reellen Gleichung n ^ten Grades

$$f\left( x \right) = 0$$

((1))

welche in ein gegebenes Intervall hineinfallen. In den bekannten Lehrbüchern der Algebra ist aber die Formulierung dieses Satzes für den Fall, wo die Gleichung in den Endpunkten des gegebenen Intervalles Wurzeln besitzt, ungenau oder direkt falsch. Die richtige Fassung des Satzes ist diese:

Es bedeute N die Anzahl der Wurzeln der reellen Gleichung n^ten Grades f(x) = 0, die dem Bereiche

$$a < x \le b$$

((2))

angehören, also der in das Intervall a... b fallenden Wurzeln, wobei die obere Grenze b zum Intervall gerechnet wird, die untere Grenze a aber nicht. Dabei ist jede Wurzel mit ihrer Multivlizität zu zählen.