Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen

Zusammenfassung

Im Gebiete der quadratischen Formen von n Variablen wird eine Kompositionstheorie stattfinden, wenn für irgend drei quadratische Formen φ, ψ, χ von nicht verschwindender Determinante die Gleichung

$$ \varphi \left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right)\psi \left( {{y_{1}},{y_{2}}, \ldots {y_{n}}} \right) = \chi \left( {{z_{1}},{z_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) $$

((1))

dadurch befriedigt werden kann, dass man die Variablen z ₁, z ₂,...z _n durch geeignet gewählte bilineare Funktionen der Variablen x ₁, x ₂,...x _n und y ₁, y ₂,...y _n ersetzt. Da eine quadratische Form durch lineare Transformation der Variablen in eine Summe von Quadraten übergeführt werden kann, so darf man, ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, an Stelle der Gleichung (1) die folgende:

$$ \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}} \right)\left( {y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \ldots + y_{n}^{2}} \right) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \ldots + z_{n}^{2}$$

((2))

betrachten. Hiernach ist die Frage, ob für quadratische Formen mit n Variablen eine Kompositionstheorie existiert, im wesentlichen identisch mit der andern, ob man der Gleichung (2) durch geeignete bilineare Funktionen z ₁, z ₂,...z _n der 2n unabhängigen Variablen x ₁, x ₂,...x _n , y ₁, y ₂,...y _n genügen kann. In den folgenden Zeilen will ich zeigen, dass dieses nur in den Fällen n = 2, 4, 8 möglich ist, dass also nur für binäre Formen, für quaternäre Formen und für Formen mit 8 Variablen eine Kompositionstheorie existiert.