Zusammenfassung
Die beiden Abhandlungen, welche ich hier veröffentliche, stehen in engstem Zusammenhange mit den unter gleichem Titel erschienenen Arbeiten des Herrn Gierster1). Für die in diesen Arbeiten niedergelegten Untersuchungen war einerseits der Gedankengang massgebend, welchen Herr Kronecker2) zur Herleitung seiner Klassenzahlrela-tionen auf die Modulargleichungen der elliptischen Funktionen zuerst anwandte; andererseits basieren jene Untersuchungen auf der von Herrn Klein3) entwickelten Theorie der Modulfunktionen. Indem nämlich gemäss dieser Theorie die Modulargleichungen der elliptischen Funktionen nur Glieder einer unendlichen Reihe ähnlicher Gleichungen sind, erhebt sich die Frage, ob nicht auch aus jeder dieser Gleichungen in ähnlicher Weise wie aus den Modulargleichungen der elliptischen Funktionen Klassenzahlrelationen gewonnen werden können — und es ist diese von Herrn Klein angeregte Frage, welche Herr Gierster in den genannten Arbeiten mit Erfolg in Angriff genommen hat.
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Referenzen
Mathem. Annalen, Bd. 21 (1883), S. 1–50 und Bd. 22 (1883), S. 190–210. Die Abhandlungen sollen im Folgenden mit I. und II. zitiert werden.
Über die Anzahl der verschiedenen Klassen quadratischer Formen von negativer Determinante, Crelles Journal, Bd. 57 (1860), S. 248–255 [Werke, Bd. IV, S. 185–195].
Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Sitzungsber. der Münchener Akademie, Bd. 10 (1880), S. 89–100 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 62–70 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 169–178].
Vgl. Klein, a. a. O.
Siehe Gierster: Über Relationen zwischen Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante (Zweite Note), Sitzungsber. der Münchener Akademie, Bd. 10 (1880), S. 147–163 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 74–84.
Dazu gehört namentlich auch der in meiner Note: Zur Theorie der Modulargleichungen, Göttinger Nachrichten, 1883, S. 350–363 [diese Werke, Bd. I, S. 138–146], behandelte Fall. Derselbe liefert einen neuen Beweis für diejenigen Klassenzahl-Relationen, welche Herr Kronecker aus anderen Betrachtungen hergeleitet hat: Über quadratische Formen von negativer Determinante, Monatsber. der Berliner Akademie, 1875, S. 223–236 [Werke, Bd. IV, S. 245–259].
Siehe Dedekind: Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Crelles Journal, Bd. 83 (1877), S. 265–292 [Ges. Werke, Bd. I, S. 174–201] und Klein: Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Mathem. Annalen, Bd. 14 (1879), S. 111–172 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 13–75]. Eine ausführliche Darstellung findet man in meiner Abhandlung: Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen erster Stufe, Mathem. Annalen, Bd. 18 (1881), S. 528–592 [diese Werke, Bd. I, S. 1–66].
J (ω) ist die absolute Invariante des elliptischen Integrals 1. Gattung und identisch mit der „Valenz” des Herrn Dedekind.
Vgl. Dedekind, a, a. O. S. 287 [Ges. Werke, Bd. I, S. 196].
Siehe Gierster, I, S. 25.
Die Zahl q wird, wie schon in der Einleitung erwähnt ist, im letzten Teile des Abschnittes als Primzahl Vorausgesetzt.
Vgl. wegen dieses und des folgenden Paragraphen: Klein: Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichung fünften Grades, Mathem. Annalen, Bd. 14 (1879), S. 151 und 152 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 55 u. 56].
Es ist (ω), beiläufig bemerkt, eine η-Funktion im Sinne der Klein’sehen Abhandlung: Neue Beiträge zur Riemann’schen Funktionentheorie, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1883), S. 141–218 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 630–710].
Vergl. wegen der letzten beiden Sätze § 3 der ersten Abhandlung.
Siehe § 4 der ersten Abhandlung.
Klein, Sitzungsberichte der Münchener Akademie, Bd. 10 (1880), S. 96 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 67 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 174].
§ 1 der ersten Abhandlung.
Vgl. Gierster: I, S. 29ff.
Vgl. Gierster I, S. 45.
Die Bezeichnung „Uk” ist der Gierster’schen Abhandlung I entnommen. Die Zahl σ stimmt genau überein mit der von Herrn Gierster als „linke Seite der Klassenzahlrelation” bezeichneten Zahl.
Über gewisse Teilwerte der Θ-Funktion, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 565–574 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 186–196]. Die Bezeichnung habe ich in Rücksicht auf die späteren Entwicklungen etwas modifiziert.
Die Perioden dieser Integrale hat Herr Poincaré untersucht: Sur les groupes des équations linéaires, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, t. 96 (1883), p. 691–694 [Oeuvres, vol. II, p. 53–55]. Die Resultate des Herrn Poincaré lassen sich im Anschluss an unsere weiteren Betrachtungen leicht beweisen.
Die Indizes der Integrale sind stets (mod. 7) zu reduzieren.
Die entsprechenden Schlüsse gelten für beliebige Stufe. Die Aufstellung der Klassenzahlrelationen beliebiger Stufe bietet, wenn die Konstanten ϰ bekannt sind, keinerlei prinzipielle Schwierigkeit mehr.
Die Gleichung F(ω′, ω) = 0 stellt die Modularkorrespondenz 7ter Stufe des nten Transformationsgrades vollständig dar. Vergl. meine Arbeit: Zur Theorie der Modulargleiehungen, Göttinger Nachrichten, 1883, S. 350–363 [diese Werke, Bd. I, S. 138–146].
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Hurwitz, A. (1963). Über Relationen zwischen Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4160-3_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4160-3_3
Publisher Name: Springer, Basel
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