Abelsche Asymptotik der durch das komplexe Umkehrintegral dargestellten B-Transformation für Funktionen mit algebraischen und logarithmischen Singularitäten

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel legten wir den Fall zugrunde, dass in

$$B\left\{ f \right\} \equiv \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{a - i\infty }^{a + i\infty } {{e^{ts}}f(s)ds = F(t)} $$

die Funktion f(s) nur Singularitäten eindeutigen Charakters in der durch die Integrationsgerade begrenzten linken bzw. rechten Halbebene besitzt. Deshalb konnten wir den Integrationsweg über die singulären Stellen hinweg verschieben und Residuenrechnung anwenden. Ist nun aber die dem Integrationsweg nächstgelegene Singularität nicht von eindeutigem, sondern von algebraischem Charakter*) wie etwa (s — s₀)^-1/2 oder von logarithmischem Charakter wic ${(s - {s_0})^{ - \sqrt 2 }}$ oder log(s — s₀) oder (s — s₀)^-1/2 log(s — s₀), so ist eine Verschiebung des Weges über die singulare Stelle hinweg nicht möglich. Wir werden in diesem Fall drei Methoden anwenden: 1. Der Integrationsweg wird bis auf die Vertikale durch die singulare Stelle verschoben, umgeht diese selbst aber durch einen beliebig kleinen Kreisbogen (Hakenintegral). 2. Von f(s) wird eine Funktion mit derselben Singularität subtrahiert derart, dass die Differenz auf der ganzen Vertikalen durch die singulare Stelle integrabel wird und der Weg dorthin verschoben werden kann. 3. Der Weg wird um die singulare Stelle winkelförmig herumgebogen (soweit die übrigen Singularitäten das zulassen), wodurch Konvergenzverhältnisse geschaffen werden, die eine asymptotische Aussage ermöglichen.