Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im R _n

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel wurde gezeigt, dass sich die Methoden zur Lösung der Randwertaufgaben einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typus weitgehend vom R ₂ auf den R _n übertragen lassen. Bei den Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus ist das nicht der Fall. Wir wollen in diesem Kapitel einen Einblick in die Lösung des Cauchyschen Anfangswertproblems geben. Zur Abkürzung der Rechnungen beschränken wir uns auf die Differentialgleichung

$$\left[ {d,{d_n}U} \right] = 0,\;{d_n}U = {\varepsilon _{i{i_2} \cdots {i_n}}}{A^{ik}}U{._k}\left[ {d{x^{{i_2}}}, \cdots ,d{x^{{i_n}}}} \right]$$

((23.0.1))

(über die Indizes i ₂ <... < i _n ist nach Abschnitt 17.1 in geordneter Weise zu summieren). Die charakteristische quadratische Form

$${A^{ik}}{\phi _i}{\phi _k},\;\left( {{A^{ik}} \in {C^1}} \right)$$

((23.0.2))

habe den Defekt 0 und die Trägheit 1 oder n-1. In den Abschnitten 23.4 und 23.5 wird auch der Trägheitsindex 0, das heißt eine elliptische Differentialgleichung, in die Betrachtung einbezogen.