Einführung und Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski

Zusammenfassung

In einem Gebiet G des fünfdimensionalen Raumes R ₅ mit den Koordinaten x, y, u, p, q sei eine Funktion F(x, y, u, p, q) erklärt. Durch die Gleichung

$$F(x,{\kern 1pt} y,{\kern 1pt} u,{\kern 1pt} p,{\kern 1pt} q) = 0$$

((1.1.1))

ist in G eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit M₄ bestimmt. Wählt man u, p, q derart als Funktionen der Variablen x, y, daß (1.1.1) erfüllt ist, so bestimmen u(x, y), p(x, y), q(x, y) eine Fläche (M₂) in der M₄ in G. Unter der Voraussetzung u ϵ E¹, p, q ϵ G⁰¹⁾ kann man zusätzlich fordern, daß in G gilt

$$du = p(x,{\kern 1pt} y)dx + q(x,{\kern 1pt} y)dy,$$

((1.1.2))

das heißt: p und q sollen die partiellen Ableitungen u _x und u _y von u(x, y) sein. Eine Funktion u(x, y), die diese Forderungen erfüllt, heißt Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.