Abstract
After the discussion of the applications of the correspondence principle in Munich, Breslau and Göttingen, the final chapter of this book returns to Copenhagen. It studies how physicists around Niels Bohr approached the multiplet intensity problem and its relation to the correspondence principle. Based on a set of letters by Bohr, Kramers, Heisenberg, Pauli, and Kronig, this chapter analyzes how the intensity problem turned from one aspect of the patchwork of problems into a challenge for the conceptual development of quantum theory which played a central role in Heisenberg’s work leading to his seminal paper “Über die quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen” (henceforth Umdeutung).
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Notes
- 1.
Heisenberg (1925a). Following up on the reconstruction presented in Chap. 4 and Sects. 7.1, 7.2, and 7.3 of this chapter, Alexander Blum, Christoph Lehner, Jürgen Renn and myself have analyzed Heisenberg’s work and the subsequent emergence of matrix mechanics and presented a reinterpretation of his pathway to Umdeutung. See Blum et al. (2017). Section 7.4 discusses our joint reconstruction in the context of the present chapter.
- 2.
Focusing on the multiplet intensity problem, the analysis of the Copenhagen reaction is restricted to a particular case, extending the discussion of Sommerfeld’s approach in Chap. 4. I will not devote a separate chapter to the reaction to Franck and Hund’s or Reiche’s work mainly for pragmatic reasons. In both cases it is not possible to probe the Copenhagen reaction extensively. In the case of Franck and Hund, as we saw in Chap. 5, the reaction of the Copenhagen community was rather brief and had limited repercussions on the formulation of the correspondence principle. In Reiche’s case, one can anticipate that his work had a profound influence on Kramers’ dispersion theory (see Chap. 6), yet unfortunately, we lack Kramers’ letters to Reiche as well as his actual calculations. As a result, we can only speculate about the specific impact of Reiche’s work, arriving at results that corroborate Konno’s reconstruction of Kramers’ dispersion theory; see Konno (1993).
- 3.
See MacKinnon (1977, 1982) and Darrigol (1992, 235–246 and 260–276). McKinnon and Darrigol have analyzed some of the letters and papers discussed in this chapter. For them, the Copenhagen reaction to Sommerfeld’s attack on the correspondence principle played a role in the discussion of Heisenberg’s idea of sharpening the correspondence principle and his paper on the polarization of fluorscence radiation. They did not follow the prolonged discussions of the intensity problem in Copenhagen, however. As a result, the multiplet intensity problem ultimately remained peripheral in their reconstructions. Darrigol mentioned the discussions of Pauli, Kronig, and Heisenberg in April 1925 in his reconstruction of Heisenberg’s pathway to Umdeutung, without, however, realizing a genetic connection between them. For him, Heisenberg and Pauli had simply “guessed” the intensity formula for the anharmonic oscillator that Heisenberg obtained when developing the central idea of his Umdeutung. See Darrigol (1992, 264 and 267).
- 4.
Bohr to Ornstein, 5 July 1924 (BSC 14.2). “Gegenwärtig sind wir hier sehr interessiert an der Frage von der Intensität von Spektrallinien, von der es möglich scheint Schlüsse über den Charakter und Festlegung von Elektronenbahnen zu schliessen. In dieser Beziehung dürften natürlich solche einfachen Gesetzmäßigkeiten wie Sie in Ihrem Institute gefunden sind, und die Sie in Ihrer Abhandlung analysieren, von grundsätzlicher Bedeutung sein.”
- 5.
- 6.
Kramers to Sommerfeld, 6 September 1924 in Sommerfeld (2004, 165–166). “Es liegt Bohr fern, das Korrespondenzprinzip als eine Grundlage einer axiomatischen Darstellung der Quantentheorie anzusehen. Bohrs Formulierung des Prinzips ist ja überall tastend und vorsichtig, und es wäre mindestens verfrüht aus den schönen Utrechter Intensitätsmessungen auf ein ‘Versagen’ oder ‘Unzweckmäßigkeit’ des Korrespondenzprinzips schließen zu wollen.”
- 7.
Kramers to Sommerfeld, 6 September 1924 in Sommerfeld (2004, 165–166). “Es liegt vielmehr so, dass wir von der Elektronenkoppelung im Atom noch so wenig wissen, dass das Korrespondenzprinzip, soweit wir es bis jetzt erkannt haben, uns nicht im Stande stellt, irgend eine Vermutung über Multiplettintensitäten zu bevorzugen; wir begegnen aber hier einem Problem, wie die bisherige Form der Theorie der Festlegung der stationären Zustände wesentlich versagt; man darf aber vielleicht hoffen, dass der allgemeine Korrespondenzgesichtspunkt an der Hand der Experimente einen Fingerzeig zur Beseitigung dieser Schwierigkeiten geben wird.”
- 8.
Heisenberg’s arguments and his discussions with Pauli have also been analyzed by Darrigol in a somewhat different manner. See Darrigol (1992, 237–246). His analysis is framed in terms of the development of BKS theory and discusses the relation between a use of the principle as a formal analogy and the virtual oscillators of BKS. The difference in perspective between the present analysis and Darrigol’s will be discussed below.
- 9.
Heisenberg to Pauli, 30 September 1924 in Pauli (1979, 162). “Mit Bohr hab’ ich mir die Frage nochmal genau überlegt und wir sind zu dem Schluß gekommen, daß die Summenregeln nicht etwa—wie Sommerfeld sagt—, durch’s Korrespondenzprinzip nicht verstanden werden können, sondern daß sie eine zwangsläufige Folge des Korrespondenzprinzips sind und eigentlich das allerschönste Beispiel dafür daß das Korrespondenzprinzip manchmal eindeutige Schlüsse zulässt.”
- 10.
Heisenberg to Pauli, 30 September 1924 in Pauli (1979, 163).
- 11.
Heisenberg (1925b).
- 12.
Heisenberg (1925b, 617). The full argument on the polarization of fluorescence radiation is not essential for understanding the discussion of the sum rules in Copenhagen. For a more detailed reconstruction of Heisenberg’s argument, which relied mainly on the sum and polarization rules, see MacKinnon (1977) and Darrigol (1992). MacKinnon’s analysis of the significance of Heisenberg’s paper for his pathway to Umdeutung is discussed in Blum et al. (2017).
- 13.
Heisenberg to Pauli, 30 September 1924 in Pauli (1979, 162, emphasis in the original). “Die Summenregel in der klassischen Theorie bedeutet nämlich einfach, daß (z.B. im Falle md-np) die Gesamtintensität des Bildes, d.h. die Summe der drei Komponenten J +1 + J 0 + J −1 unabhängig sein muß vom Winkel 𝜗, (vgl. Zeitschrift für Physik 11,142 (12)), deswegen, weil wir ja immer dieselbe Elektronenbahn haben. Nur die Verteilung der Gesamtintensität in J +1, J 0 und J −1 hängt natürlich von 𝜗 ab. Ebenso in der Quantentheorie. Haben wir etwa drei d- und drei p-Niveaus, so muß die Gesamtintensität für jedes der drei d-Niveaus dieselbe sein, weil sie ja dieselbe Elektronenbahn haben, nur verschiedene Winkel. [Figure of the intensity scheme] Die Verteilung der Gesamtintensitäten auf die verschiedenen Oszillatoren ist natürlich von 𝜗 abhängig.”
- 14.
- 15.
Bohr to Slater, 10 January 1925 (BSC 16.2).
- 16.
Heisenberg to Pauli, 8 October 1924 in Pauli (1979, 167–168). “Wenn man, wie Sie, unter Korrespondenzprinzip die falsche Behauptung versteht, man könne durch Mittelung der klassischen Intensität zur quantentheoretischen kommen, so haben Sie recht, daß man durch’s Korrespondenzprinzip nicht zur Ornsteinregel kommen kann; wenn man aber darunter meint: sinngemäßen logischen Anschluß an die klassische Theorie, so habe ich recht.”
- 17.
See Heisenberg to Pauli, 8 October 1924 in Pauli (1979, 168). In his letter discussed below Heisenberg responded to Pauli’s criticism.
- 18.
Heisenberg to Pauli, 8 October 1924 in Pauli (1979, 167). “Wenn man nun zur Quantentheorie übergeht, so liegt es vollkommen im Sinn jeder Strahlungstheorie, zu sagen: die quantentheoretische gesamte Strahlungswahrscheinlichkeit ist eindeutig durch die (virtuelle) Elektronenbahn und deren pro sec. gestrahlte (virt[uelle]) Energie gegeben; wenn man das nicht sagt, so hört jede Definition von Lebensdauer u.s.w. auf. Wenn man es aber annimmt—und diese Annahme ist ja vielleicht kein absolut zwingendes, aber doch sehr naheliegendes Analogon zur klassischen Theorie (ich könnte mir keine Theorie ohne die Annahme vorstellen) d.h. Korrespondenzprinzip so hat man die Ornsteinsche Regel. Nur die Verteilung auf die verschiedenen möglichen Sprünge wird durch die Kopplung gegeben.”
- 19.
Heisenberg to Pauli, 8 October 1924 in Pauli (1979, 168, emphasis in the original). “Aus ihrem Brief, glaube ich, daß Sie nicht ganz verstanden hatten, was ich wollte mit meinem Brief und sich nicht klar gemacht hatten, welches Unglück passiert und wie weit man sich von der klassischen Theorie entfernt, wenn man die eindeutige Beziehung zwischen Elektronenbahn und Sprungwahrscheinlichkeit aufgibt. Meine Argumente sind also durchaus physikalische, nicht etwa die formalen, daß auch klassisch \(\cos ^4\frac {\vartheta }{2}+2\cos ^2\frac {\vartheta }{2}+\sin ^4\frac {\vartheta }{2}=1\) ist.”
- 20.
For Darrigol’s reconstruction of Heisenberg’s Umdeutung, see Darrigol (1992, 261–267, especially 275–276 for his emphasis on symbolic translation).
- 21.
See Goudsmit and Kronig (1925a,b), Kronig (1925a,b), Fowler (1925a,b), and Dennison (1926, 1928). Kronig worked on the intensities of the Zeeman effect and multiplets for atoms. The intensities of band spectra of diatomic molecules were tackled by Fowler on the basis of the sum rules, and by Dennison on the basis of matrix mechanics.
- 22.
Kronig had taken up this general insight from Ehrenfest’s student Samuel Goudsmit. See Kronig to Goudsmit, 15 December 1924 (AHQP 60.3). It is clear, however, that Kronig had developed this solution without Goudsmit: In February Kronig wrote another letter with a detailed explanation of his calculations to help Goudsmit understand the argument. Giving credit to Goudsmit for the initial observation, they published a first paper together (Goudsmit and Kronig 1925a) in the proceedings of the Koninklijke Akademie van Wetenschappen in Amsterdam and presented the results in a short note (Goudsmit and Kronig 1925b) for Die Naturwissenschaften.
- 23.
Kronig presented his determination in detail in a letter to Goudsmit and in their joint paper for the proceedings of the Koninklijke Akademie van Wetenschappen in Amsterdam, while leaving it out of a short note for Die Naturwissenschaften and his later papers on multiplet intensities. Only the latter papers, however, were more widely received. They are the only ones mentioned in the historiographical literature, see Darrigol (1992, 236).
- 24.
For this argument see Kronig to Goudsmit, 21 February 1925 (AHQP 60.4) and Goudsmit and Kronig (1925a).
- 25.
The only difference being that Kronig assumed half-integer values for the magnetic and inner quantum number, whereas Hönl had formulated his formulas for integer values (and observed the possibility of taking half-integer values as well).
- 26.
Note that this formulation appeared only in the short note in Die Naturwissenschaften and was omitted as an intermediate step in the paper for the proceedings. He thought, the two terms had the apparently significant feature that they could be written symmetrically in the quantum numbers of the initial and the final state. This interpretation, however, had no immediate consequences and I will therefore not discuss it further.
- 27.
Fermi to Kronig, 10 January 1925 (AHQP 16.4). “Ich glaube auch, dass der richtige Weg um Gesetzmäßigkeiten über die Intensitäten zu finden, wohl der ist, dass man halb empirisch, und halb mit Hilfe des Korrespondenzprinzips vorschreitet [sic!].” Fermi and Kronig met during their stay in Leiden in 1924 and remained in close contact afterward. Fermi had also worked on the intensity problem on his own in Leiden and calculated the transition probabilities for multiplets on the basis of Sommerfeld and Heisenberg’s correspondence formulas. Considering the problem as one of matching quantitative predictions, Fermi did not discuss the conceptual problems of the Zwischenbahn approach at all, concluding instead that the correspondence principle was in agreement with the empirical data within the margin of error if one calculated the multiplet intensities from the sum of their Zeeman intensities. See Fermi (1924a, 1925). Fermi, who had not shared his work with Kronig until February 1925, did not perceive Kronig’s work to be fundamentally different from his own and informed Kronig that the transition probabilities, which he had calculated in this way, “only differ from yours as the intensities of the perpendicular components come out a quarter bigger for the case of the bathtub [most likely the case of Δj = 0 MJ].”
- 28.
Before realizing that he needed to explain the approach to his coauthor, Kronig made these comments with respect to the extension of his work to multiplet intensities. See Kronig to Goudsmit, 9 February 1925 (AHQP 60.4). “Aus den kleinen Anfängen hat sich nun während der letzten 10 Tage eine größere Arbeit mit langen Formeln für die Mehrfachlinien ohne, im schwachen, im starken, sowie teilweise auch im mittleren Magnetfeld und mit einem Permanenzprinzip entwickelt, welche interessante Schlüsse über die Verschärfung des Korrespondenzprinzips zulässt.”
- 29.
Kronig to Landé, 11 February 1925 (AHQP 4.17). “Was besonders interessiert [sic!] ist, dass ich auch Formeln gefunden habe, welche bei Kombinationen zwischen gestrichenen und ungestrichenen Termen die Verhältnisse wiedergeben. Das Atom verhält sich dabei scheinbar so, als ob es eine Bewegungskomponente senkrecht zur Elektronenbahn hätte.” The transitions between “primed” and “unprimed terms,” which correspond to the transitions with Δk = 0, also played a role in Sommerfeld’s work. As we saw in Chap. 4.4, they provided the counterexample to the Ganzzahligkeitshypothese.
- 30.
Heisenberg to Kronig, 21 May 1925 (AHQP 16.6). “Das Wort ‘Ersatzstrahler’ hat in der Literatur (Landé) die Bedeutung angenommen: ‘Eine unsaubere Anwendung des Korrespondenzprinzips, die man nicht verstehen kann’; ich bitte Sie dringend dieses Wort, das für mich Erinnerungen an Kriegs-Ersatzmarmelade u.s.w. hervorruft, zu eliminieren.”
- 31.
Pauli to Heisenberg, 28 February 1925 in Pauli (1979, 212). “Inzwischen sind ja da neue Möglichkeiten aufgetaucht die Berechnung der Intensitäten der Spektrallinien zu verschärfen. (in Kopenhagen sagt man natürlich: ‘Das Korrespondenzprinzip zu verschärfen’—id est Imperialismus des Korrespondenzprinzips.)” To calculate the intensities of spectral lines in the Stark effect, Pauli planned to follow Kramers’ strategy. Considering Kramers and Heisenberg’s dispersion formula for incoherent scattering associated with the “so-called Smekal jumps” in the limit of vanishing frequencies, he wanted to know “what you know about the probabilities of these jumps” along with the “formulas of the classical theory.”
- 32.
Pauli to Kronig, 21 May 1925 in (Pauli 1979, 215). “Das bloße Ausdehnen der formalen Zoologie auf immer kompliziertere Fälle halte ich im Grunde doch für eine unfruchtbare Sache. Dagegen interessiere ich mich noch sehr für das allgemeine formale Problem der Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeiten, insbesondere für die Ummodelung und Erweiterung des Bornschen Formalismus, über die wir in Kopenhagen sprachen. Wenn ich in meinem Artikel für das Springersche Handbuch (der inzwischen schon Fortschritte gemacht hat) zu diesem Formalismus komme, will ich wieder darüber nachdenken”.
- 33.
Pauli (1925, 68).
- 34.
Pauli (1925, 68). “Wir wollen hier jedoch die Frage nach den Werten der Übergangswahrscheinlichkeiten in einem achsensymmetrischen Kraftfeld als eine kinematische ansehen, für die es nur darauf ankommt, daß der Bewegungstypus der säkularen Störung des Feldes der einer überlagerten gleichförmigen Drehung um die Feldachse ist. Daß diese Auffassung das Richtige trifft, scheint auch daraus hervorzugehen, daß die Energiewerte des Atoms im Magnetfeld in die Intensitätsformeln in keiner Weise eingehen. Man hat es hier mit einem Spezialfall der uns noch unbekannten allgemeinen Quantenkinematik zu tun, welche an die Stelle der mit eindeutig definierten Elektronenbahnen operierenden klassischen Kinematik treten wird. Die Formeln (101) lehren uns wenigstens in formaler Hinsicht, welche Operationen der Quantenkinematik an die Stelle des Zerlegens einer harmonischen Schwingung in eine lineare Komponente parallel zu einer festen Richtung und zwei links- und rechtszirkulare Komponenten in der Ebene senkrecht zu dieser Richtung in der klassischen Kinematik treten.”
- 35.
Pauli first learned of Heisenberg’s attempts to fabricate a “quantum mechanics” in Hamburg, when Heisenberg returned from Helgoland, where he had already found results for the anharmonic oscillator and the rotator. See Heisenberg to Pauli, 21 June 1925 in Pauli (1979, 219–221).
- 36.
This course of events was presented by Heisenberg himself on various occasions. For example, see Interview of Werner Heisenberg by Thomas S. Kuhn on 1963 February 22, Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics, College Park, MD USA, www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4661-7. MacKinnon and Darrigol followed Heisenberg’s description, corroborating it with Heisenberg’s letters to Kronig and Pauli. See MacKinnon (1977) and (Darrigol 1992, 260–268).
- 37.
We know about this choice from a letter by Heisenberg to Kronig on 5 June 1925 (AHQP 16.6).
- 38.
Against this reconstruction, one might argue that the anharmonic oscillator could have been a first attempt to develop a description of series spectra, particularly of the hydrogen spectrum. Choosing it would thus not constitute the adoption of a new epistemic vehicle for more conceptual considerations, but an attempt to extend the specific problem-solving techniques to another class of phenomena. This position is entirely plausible. It is in conflict, however, with Pauli’s letter to Kronig and Pauli’s statement in his Handbuch article quoted above. They clearly formulate a new perspective on the intensity problem in which specific problems are separated from more general conceptual considerations, and identify the “general formal problem of the calculation of the transition probabilities” as the object of the Copenhagen discussions.
- 39.
The most explicit formulation of this interpretation was given by Heisenberg in a letter to Kronig, 8 May 1925 (AHQP 16.6). In it, Heisenberg discussed the intensities for hydrogen and stated that he used “the principle that the jumps at the edge ought to vanish” to translate a classical intensity formula into its quantum theoretical counterpart.
- 40.
See Heisenberg to Kronig, 8 May 1925 (AHQP 16.6). “[D].h. was neulich trivial war, an Stelle der Potenzen treten Binomialkoeffizienten.” Heisenberg made this remark in the context of his work on hydrogen intensities, in which he also applied the replacement of powers by binomial coefficients. His reminder of the discussions in Copenhagen pointed either to the case of the Zeeman effect, in which simple quadratic expression like (j − m)2 were replaced by products of the form (j − m)(j − m + 1), or to the case of the anharmonic oscillator, in which the classical power expression n τ was replaced by the product n(n + 1)…(n + τ − 1).
- 41.
- 42.
It is doubtful that they followed Heisenberg’s earlier calculation in all its detail. In his letter to Kronig in June 1925, for example, Heisenberg adopted a different ansatz for the coordinate x–choosing a real Fourier series with a constant term.
- 43.
This ansatz is not the most general one, as it does not have a constant term.
- 44.
At the same time other aspects, like the idea that the sum of the transition probabilities was constant, ceased to play a role.
- 45.
Pauli (1925, 68). See Footnote 34 for the full quote.
- 46.
- 47.
Darrigol (1992, 265–267).
- 48.
- 49.
Heisenberg to Kronig, 5 June 1925 (AHQP 16.6). “In der klassischen Theorie gent die Kenntnis der Fourierreihe der Bewegung, um alles auszurechnen […]”.
- 50.
Heisenberg to Kronig, 5 June 1925 (AHQP 16.6).
- 51.
Heisenberg to Kronig, 5 June 1925 (AHQP 16.6).
- 52.
Blum et al. (2017).
- 53.
Heisenberg to Kronig, 5 June 1925 (AHQP 16.6). “Man wird dann versuchen, die Gleichungen (1) quantentheoretisch umzudeuten, […] das wesentliche an dieser Umdeutung scheint mir, dass die Argumente der quantentheoretischen Amplituden so gewählt werden müssen, wie es dem Zusammenhang der Frequenzen entspricht.”
- 54.
For a discussion of the conceivable possibilities, see Blum et al. (2017).
- 55.
Note that Heisenberg’s recursion relations are different. Due to the specific ansatz, there is a constant term a 0 and the parameter λ does not occur in the recursion relations. For a discussion of these points see Blum et al. (2017).
- 56.
Heisenberg to Kronig, 5 June 1925 (AHQP 16.6). “Entnimmt man aus der Theorie des harmonischen Oscillators, dass, was die Abhängigkeit von n betrifft, a 1 gegeben ist durch \(\sqrt {n}\) (auch in der Quantentheorie), […]”.
- 57.
Heisenberg to Kronig, 5 June 1925 (AHQP 16.6). See Footnote 58 for the full quote.
- 58.
Heisenberg to Kronig, 5 June 1925 (AHQP 16.6). “Diese Formel ist nun in der Tat die seinerzeit schon besprochene (vgl. die Diskussionen mit Pauli), und ich könnte mir denken, dass man damit wirklich ein allgemeines Gesetz zur Berechnung der Intensitäten hat: Aus den Bewegungsgleichungen ergeben sich einfache Beziehungen zwischen den a τ, die (bei f Freiheitsgraden bis auf f unabhängige Konstante) die a τ bestimmen. Diese Beziehungen übernehme man, nach quantentheoretischer Verwandlung, direkt in die Quantentheorie und hat (wieder bis auf f unabhängige Konstante) die Intensitäten. Die Bestimmung der Konstante ist noch ein Kapitel für sich u. ich will darüber heut nichts schreiben. Aber man kann z.B. zeigen, dass Ihre Intensitätsformeln der Multipletts u. Zeemaneffekte auch aus dem eben ausgeführten Schema zu folgen scheinen.”
- 59.
Heisenberg to Pauli, 24 June 1925 in Pauli (1979, 228). “Auch würd’ ich gern verstehen, was eigentlich die Bewegungsgleichungen bedeuten, wenn man sie als Relation zwischen [den] Übergangswahrscheinlichkeiten auffasst.”
- 60.
Heisenberg to Pauli, 24 June 1925 in Pauli (1979, 227). There is no direct evidence indicating how Heisenberg actually arrived at his new quantum condition. In his presentation of the derivation to Pauli, Heisenberg did not explain why the old quantum condition underlying the solution in the Kronig letter was insufficient, or why his new quantum condition was more satisfactory. Presenting the quantum condition in essentially the same way in the final publication, Heisenberg still made a spurious argument. The old quantum condition, he argued, only fit into a mechanical scheme in an arbitrary way because the action was only determined up to a constant. For a discussion of a possible conceptual motivation for the new quantum condition, see Blum et al. (2017).
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Jähnert, M. (2019). Copenhagen Reactions: The Intensity Problem in Copenhagen, 1924–1925. In: Practicing the Correspondence Principle in the Old Quantum Theory. Archimedes, vol 56. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-13300-9_7
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