Abstract
Since Riemann, the problem of determining all domains in the plane that are biholomorphically (= conformally) equivalent to each other has been one of the main interests of geometric function theory. Existence and uniqueness theorems make it possible to study interesting and important holomorphic functions without knowing closed analytic expressions (such as integral formulas or power series) for them. Furthermore, analytic properties of the mapping functions can be obtained from geometric properties of the given domains.
Zwei gegebene einfach zusammenhängende ebene Flächen können stets so auf einander bezogen werden, daß jedem Punkt der einen Ein mit ihm stetig fortrückender Punkt der andern entspricht und ihre entsprechenden kleinsten Theile ähnlich sind. (Two given simply connected planar surfaces can always be related to each other in such a way that every point of one corresponds to one point of the other, which varies continuously with it, and their corresponding smallest parts are similar.)
— B. Riemann, 1851
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Remmert, R. (1998). The Riemann Mapping Theorem. In: Classical Topics in Complex Function Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol 172. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2956-6_8
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