Sur La Fonction Exponentielle

Résumé

Étant donné un nombre quelconque de quantités numériques α ₁, α ₂,..., α _n , on sait qu’on peut en approcher simultanément par des fractions de même dénominateur, de telle sorte qu’on ait

$${\alpha _1} = \frac{{{\Lambda _1}}}{\Lambda } + \frac{{{\partial _1}}}{{\Lambda \sqrt \Lambda }}$$

,

$${\alpha _2} = \frac{{{\Lambda _2}}}{\Lambda } + \frac{{{\partial _2}}}{{\Lambda \sqrt[n]{\Lambda }}}$$

,................,

$${\alpha _n} = \frac{{{\Lambda _n}}}{\Lambda } + \frac{{{\partial _n}}}{{\Lambda \sqrt[n]{\Lambda }}}$$

∂ ₁ ∂ ₂, ..., ∂ _n ne pouvant délasser une limite qui dépend seulement. de n. C’est, comme on voit, une extension du mode d’approximation résultant de la théorie des fractions continues, qui correspondrait au cas le plus simple de n = 1. Or, on peut se proposer une généralisation semblable de la théorie des fractions continues algébriques, en cherchant les expressions approchées de n fonctions φ₁(x), φ₂(x),..., φ _n (x) par des fractions rationnelles $\frac{{{\Phi _1}\left( x \right)}}{{\Phi \left( x \right)}},\frac{{{\Phi _2}\left( x \right)}}{{\Phi \left( x \right)}},...,\frac{{{\Phi _n}\left( x \right)}}{{\Phi \left( x \right)}}$, de manière que les développements en série suivant les puissances croissantes de la variable coïncident jusqu’à une puissance déterminée x ^M. Voici d’abord, à cet égard, un premier résultat qui s’offre immédiatement. Supposons que les fonctions φ₁(x), φ₂(x),..., φ _n (x) soient toutes développables en séries de la forme α+βx+γx ² et faisons

$$\Phi \left( x \right) = \Lambda {x^m} + {\rm B}{x^{m - 1}} + ... + {\rm K}x + L$$

.