Mémoire Sur Quelques Propriétés Remarquables des Quantités Transcendentes Circulaires et Logarithmiques

Abstract

Démontrer que le diametre du cercle n’eft point à fa circonférence comme un nombre entier à un nombre entier, c’eft là une chofe, dont les géometres ne feront gueres furpris. On connoit les nombres de. Ludolph, les rapports trouvés par Archimede, par Metius ctc. de même qu’un grand nombre de fuites infinies, qui toutes fe rapportent à la quadrature du cercle. Et fi la fomme de ces fuites eft une quantité rationelle, on doit affez naturellement conclure, qu’elle fera ou un nombre entier, ou une fraction très fimple. Car, s’il y falloit une fraétion fort compofée, quelle raifon y auroit-il, pourquoi plutôt telle que telle autre quelconque? C’eft ainfi, par exemple, que la fomme de la fuite

$$\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + \& o.$$

eft égale à l’unité, qui de toutes les quantités rationelles eft la plus fimple. Mais, en omettant alternativement les 2, 4, 6, 8 &c. termes, la fourme des autres

$$\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{9.11}} + \frac{2}{{13.15}} + \& c.$$

donne l’aire du cercle, lorsque le diametre eft = 1. Il femble done que, fi cette Comme étoit rationelle, elle devroit également pouvoir êrre exprimée par une fraεtion fort fimple, telle que feroir 3/4 ou 4/5 &c. En effet, le diametre étant = 1, le rayon = l/2, le quarré du rayon = 1/4, on voit bien que ces expreffions étant aufi fimples, elles n’y mettent point d’obftacle. Et comme il s’agit de tout le cercle, qui fair une efpece d’unité, & non de quelque Seεeur, qui de fa nature demanderoit des fraεtions forr grandes, on voit bien, qu’encore à cet égard on n’a point fujet de s’attendre à une fraεtion fort compofée. Mais comme, après la fraεtion 1/1 1/4 trouvèe par Achimede, qui ne donne qu’un à peu près, on paffe à celle de Metius, 3/4 5/5 5/2, qui n’eft pas non plus exεate, & dont les nombres font confidérablement plus grands, on doit être fort porté à conclure, que la fomme de cette fuite, bien loin d’être égale à une fraεtion fimple, eft une quantité irrationelle.