Finite-Volumen- und Mehrgitter-Verfahren für elliptische Randwertprobleme

1. Front Matter

   Pages 1-25

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2. Einführung in die Theorie und Numerik elliptischer Randwertprobleme

   • Jürgen Bey

   Pages 27-81

3. Adaptive Verfeinerungsalgorithmen

   • Jürgen Bey

   Pages 82-128

4. Stabile Verfeinerung von (n)-Simplizes

   • Jürgen Bey

   Pages 129-167

5. Finite-Volumen-Diskretisierung

   • Jürgen Bey

   Pages 168-235

6. Ein robustes Mehrgitterverfahren für konvektionsdominierte Probleme

   • Jürgen Bey

   Pages 236-332

7. Back Matter

   Pages 333-356

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Zum Kontext dieses Buches Die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen beinhaltet im allgemeinen die Lösung großer bis sehr großer Gleichungssysteme. Bei dreidimensionalen Problemen z. B. sind mehrere Millionen Unbekannte keine Seltenheit, und obwohl die Rechenleistung der stärksten Computer in den letzten Jahrzehnten exponentiell angestiegen ist, könnten viele praxis­ relevante Probleme heute nicht gelöst werden, wären die Numeriker nicht bei der Entwicklung effizienter Algorithmen ähnlich erfolgreich gewesen. Zu den bemerkenswertesten Fortschritten auf diesem Gebiet zählt die Entwicklung adaptiver Mehrgitter-und Multilevelverfahren, deren Erfolg auf der Verschmelzung zweier leistungsfähiger Konzepte beruht: der Kombination adaptiver Diskretisierungstechniken mit schnellen Mehrgitter- bzw. Multilevellösern. Die Anwendung adaptiver Diskretisierungstechniken dient zunächst dazu, die Anzahl der Unbekannten und damit die Dimension des zu lösenden Gleichungssystems möglichst gering zu halten. Wurden früher zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen in erster Linie gleichmäßig strukturierte Rechteckgitter verwendet, so ist man heute durch den Einsatz ge­ eigneter Fehlerschätzer in der Lage, die Diskretisierung - ausgehend von einem relativ groben Anfangsgitter und einer entsprechend groben Näherungslösung - schrittweise an die aktuel­ le Näherungslösung anzupassen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Üblicherweise wird dazu das aktuelle Diskretisierungsgitter lokal verfeinert, und zwar an solchen Stellen, wo aufgrund entsprechender Fehlerabschätzungen eine höhere Genauigkeit zu erwarten ist, z. B. in der Nähe von Singularitäten, Grenzschichten, einspringenden Ecken, etc. Bereiche, in denen die Lösung sichals hinreichend glatt herausstellt, bleiben unverfeinert oder könne- etwa bei zeit abhängigen Anwendungen - sogar wieder vergröbert werden.

• Algorithmen
• Dimension
• Funktionen
• Fusion
• Konvergenz
• Multileveltriangulierungen
• Numerik
• Randwertproblem
• Simplizes
• Triangulieren
• Verfahren
• Verfeinerungsalgorithmen
• Volumen
• elliptische Randwertprobleme
• numerische Mathematik

• Rheinisch-Westfälische Techn. Hochschule Aachen, Deutschland

  Jürgen Bey

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