Summation identities and transformations for hypergeometric series

Abstract

We find summation identities and transformations for the McCarthy’s p-adic hypergeometric series by evaluating certain Gauss sums which appear while counting points on the family

$$\begin{aligned} Z_{\lambda }: x_1^d+x_2^d=d\lambda x_1x_2^{d-1} \end{aligned}$$

over a finite field $\mathbb {F}_p$. Salerno expresses the number of points over a finite field $\mathbb {F}_p$ on the family $Z_{\lambda }$ in terms of quotients of p-adic gamma functions under the condition that $d|p-1$. In this paper, we first express the number of points over a finite field $\mathbb {F}_p$ on the family $Z_{\lambda }$ in terms of McCarthy’s p-adic hypergeometric series for any odd prime p not dividing $d(d-1)$, and then deduce two summation identities for the p-adic hypergeometric series. We also find certain transformations and special values of the p-adic hypergeometric series. We finally find a summation identity for the Greene’s finite field hypergeometric series.

Résumé

Nous trouvons des identités et des transformations de sommations pour les séries p-adiques hypergéométriques de McCarthy en évaluant certaines sommes de Gauss qui apparaissent lorsque nous comptons le nombre de points sur un corps fini $\mathbb {F}_p$ de la famille

$$\begin{aligned} Z_{\lambda } : x_1^d+x_2^d = d\lambda x_1x_2^{d-1}. \end{aligned}$$

Pour sa part, Salerno exprime le nombre de points sur un corps fini $\mathbb {F}_p$ de la famille $Z_{\lambda }$ en termes de quotients de fonctions gamma p-adiques sous la condition que d divise $p-1$. Dans cet article, nous exprimons d’abord le nombre de points sur un corps fini $\mathbb {F}_p$ de la famille $Z_{\lambda }$ en termes de séries hypergéométriques p-adiques de McCarthy pour tout nombre premier impair p ne divisant pas $d(d-1)$, et déduisons ensuite deux identités de sommations pour les séries hypergéométriques p-adiques. Nous trouvons aussi certaines transformations et des valeurs spéciales de séries hypergéométriques. Finalement, nous trouvons une identité de sommations pour les séries hypergéométriques sur un corps fini de Greene.