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e & i Elektrotechnik und Informationstechnik

, Volume 135, Issue 2, pp 161–169 | Cite as

Optimierungsmethodik flussmodulierter Maschinen am Beispiel der Flux Reversal Maschine

  • Christian Heister
  • Markus Henke
Originalarbeit
  • 142 Downloads

Zusammenfassung

In diesem Beitrag wird eine Toolkette vorgestellt, mithilfe derer sich flussmodulierte Maschinentopologien im Rahmen einer Topologiestudie untersuchen lassen. Als Beispiel dient die Flux Reversal Maschine. Hierzu wird ein analytisches Modell eingeführt, welches mithilfe konformer Abbildungen den Modulationseffekt infolge der Rotornutung berücksichtigt. Darauf aufsetzend wird ein Algorithmus eingeführt, welcher auf Basis der analytisch gewonnenen Feldlösung eine Wicklungsauslegung vornimmt. Mithilfe dieser Toolkette werden im Rahmen einer breit angelegten Topologiestudie Flux Reversal Maschinen untersucht. Die hier dargestellte Toolkette lässt sich ebenfalls auf andere Maschinentopologien, wie permanentmagneterregte Synchronmaschinen, anwenden.

Schlüsselwörter

Toolkette analytische Feldlösung automatisierte Wicklungsauslegung Flux Reversal Maschine 

Optimization methodology of flux modulated machines at the example of the flux reversal machine

Abstract

In this article a methodology is introduced for the analysis of flux modulated machine topologies. As an example, the flux reversal machine is considered. An analytical model is introduced, which considers the modulation effect due to the rotor slotting with the help of conformal mapping. Based on this model and the analytically calculated field solution, an algorithm is developed to design a suitable winding. This methodology permits a broad topology study of flux reversal machines. The insights gained here can be applied to different other machine topologies, e.g. permanent magnet synchronous machines.

Keywords

methodology analytical field solution automated winding design flux reversal machine 

1 Einleitung und Problemstellung

Aufgrund ihrer einfachen und mechanisch robusten Rotorstruktur, sowie ihrer hohen Kraftdichte erweisen sich flussmodulierte Maschinen großer Beliebtheit. Insbesondere die Tatsache, dass sich Magnete und Kupferleiter ausschließlich im Stator befinden und damit gute Anbindungen an das Kühlsystem möglich sind, macht diese Maschinen besonders interessant für Hochtemperatur und Hochdrehzahlanwendungen. Der Rotor enthält aufgrund seines einfachen Aufbaus (Abb. 1) keine temperaturempfindlichen Komponenten.
Abb. 1.

Flux Reversal Maschine mit \(N _{s}=12\) Statornuten und \(N _{r}=14\) Rotornuten

Auch wenn die Flux Reversal Maschine in der Literatur durchaus behandelt wird, existieren wenig ganzheitliche Untersuchungen hinsichtlich vorteilhafter Stator–Nut und Rotor–Nut Kombinationen. In [1] wird ein vereinfachtes analytisches Modell eingeführt und es werden die Auswirkungen unterschiedlicher Designparameter für eine Maschine mit 12 Statornuten untersucht. [2] untersucht Designparameter für Maschinen mit konzentrierten Wicklungen und [7] auch mit verteilten Wicklungen für 6, 12 und 18 Statornuten, wobei hier auch die Anzahl an Rotornuten mit in die Betrachtung aufgenommen wurde.

Hier wird eine Methodik eingeführt, mit der sich sämtliche Topologien der Flux Reversal Maschine untersuchen lassen. Zu diesem Zweck sind zwei Teilprobleme zu lösen: Zum einen muss eine Feldlösung gewonnen werden. Dies kann grundsätzlich mit kommerzieller Finite-Elemente-Software realisiert werden, was aber bei der Vielzahl an zu betrachtenden Topologien und dem Umstand, dass für jede Topologie ein optimiertes Design erforderlich ist, aufgrund der hierzu erforderlichen Rechenzeit nicht zielführend ist. Stattdessen wird ein analytisches Rechenmodell, welches auf einer analytischen 2D-Feldlösung für eine ungenutete Maschine im Zusammenspiel mit einer komplexen relativen Funktion der Luftspaltleitwerte basiert, vorgeschlagen. Letztere wird mit einer Reihe von konformen Abbildungen berechnet. Das zweite Teilproblem ist in der Ermittlung einer geeigneten Topologie der Drehstromwicklung zu sehen. Diese ist a priori nicht bekannt und muss für jede Maschinentopologie ermittelt werden. Hierzu wird eine Systematik eingeführt, welche auf dem Prinzip maximaler Flussverkettung basiert und als Eingangsgröße den magnetischen Flussdichteverlauf im Luftspalt unter Leerlaufbedingungen benötigt.

2 Funktionsprinzip der Flux Reversal Maschine

Auch wenn die Rotorbauform an eine geschaltete Reluktanzmaschine erinnert, so liegt das Arbeitsprinzip einer Synchronmaschine näher. Durch die Modulation des von den Permanentmagneten erregten Feldes durch die Rotornuten bei einer Rotation des Rotors, wirkt in den Statorspulen eine annähernd sinusförmige Flussverkettung, wie in Abb. 2 dargestellt. Die in dieser Abbildung dargestellte Topologie weist eine Einzelzahnwicklung auf. Auf dem Statorzahn befinden sich zwei Magnete mit den ausgewiesen Magnetisierungsrichtungen. Zudem ist die hier betrachtete Einzelspule ausgewiesen und der mit ihr verkettete Erregerfluss für eine elektrische Periode aufgetragen.
Abb. 2.

Funktionsprinzip der Flux Reversal Maschine anhand unterschiedlicher Rotorpositionen im Leerlauf

Hier soll die Flux Reversal Maschine mit zwei unterschiedlichen Magnetisierungsformen betrachtet werden. Abbildung 3(a) zeigt die weiter verbreitete Magnetisierungsform, in welcher die Polfolge alternierend ist (NS–SN), während in Abb. 3(b) Nord- und Südpol für jeden Zahn die gleiche Polfolge aufweisen (NS–NS). In der NS–SN-Magnetisierungsform ähnelt die Topologie derer einer Flux Switching Maschine und kann als dessen Oberflächenmagnetvariante angesehen werden, während die Flux Switching Maschine als Maschine mit vergrabenen Magneten in Sammleranordnung angesehen werden kann. Darüber hinaus sind auch Maschinen mit zwei Polpaaren pro Statorzahn möglich [8].
Abb. 3.

(a) NS–SN-Magnetisierung and (b) NS–NS-Magnetisierung einer Flux Reversal Maschine mit \(N _{s}=6\) Stator- und \(N _{r}=5\) Rotornuten

3 Berechnung einer analytischen Feldlösung

Da die Drehmomentbildung der Flux Reversal Maschine auf dem Flussmodulationseffekt der Rotornutung basiert, welcher auf das durch die Statormagnete erregte Leerlauffeld wirkt, ist die Rotornutung explizit in einer analytischen Feldlösung zu berücksichtigen. Eine Berücksichtigung durch den Carterfaktor, wie bei anderen Maschinentypen üblich, ist nicht ausreichend. Hierzu existieren grundsätzlich drei Möglichkeiten: Einerseits kann die Beschreibung der Nutung durch Sub-Domänen im Nutbereich bei der analytischen Lösung der Felddifferentialgleichungen wie beispielsweise in [6] erfolgen. Alternativen sind in der Verwendung magnetisch äquivalenter Netzwerke oder konformer Abbildungen zu sehen. Da magnetisch äquivalente Netzwerke bei größeren Designänderungen zu ungenauen Lösungen führen können, was entsprechende Verfeinerungen erforderlich machen würde, erscheinen konforme Abbildungen als effizienteste Wahl für eine schnelle und gleichzeitig genaue Ermittlung der Feldlösung. Sobald die Funktion komplexer Leitwerte \(\underline{\lambda}_{rel,k} ( r,\varphi )\) im Luftspalt bekannt ist, kann die analytische Lösung des Luftspaltfeldes der genuteten Maschine als Produkt des Luftspaltfeldes der ungenuteten Maschine \(\underline{B}_{oN} ( r,\varphi )\) und der komplex konjugierten Funktion der Luftspaltleitwerte \(\underline{\lambda}_{rel,k}^{*} ( r,\varphi )\) berechnet werden. Dabei steht der Index \(k\) für die aktuelle Rotorposition.
$$ \underline{B}_{k} ( r,\varphi ) = \underline{B}_{oN} ( r, \varphi ) \cdot \underline{\lambda}_{rel,k}^{*} ( r, \varphi ) $$
(1)
Dieses Konzept wurde in [3] und [4] für den Fall einer Statornutung eingeführt. Bei der Flux Reversal Maschine ist allerdings gerade die Rotornutung von Interesse und muss für die weitere Rechnung ermittelt werden.

3.1 Ermittlung der relativen Luftspaltleitwerte durch konforme Abbildungen

Wie Abb. 1 zu entnehmen ist, sind die Magnete auf den Statorzähnen befestigt und verfügen damit immer über denselben Eisenrückschluss. Dadurch beeinflusst die Statornutung das Luftspaltfeld nicht, solange keine Sättigungseffekte zum Tragen kommen und wird in der nachfolgenden Rechnung vernachlässigt. Dies konnte auch anhand einer FEM-Analyse bestätigt werden und vereinfacht die folgende Rechnung drastisch, da diese nun auf einem Ein-Nut-Modell basieren kann. Hierzu sind insgesamt drei konforme Abbildungen erforderlich, welche in Abb. 4 dargestellt sind. Zum besseren Verständnis sind dort einige Punkte markiert und eine beispielhafte Magnetgeometrie sowie die Mitte des Luftspaltes sind in den verschiedenen Ebenen zu Demonstrationszwecken gezeichnet.
Abb. 4.

Konforme Abbildungen am Beispiel einer Einzelzahngeometrie

Zunächst wird die Geometrie einer einzelnen Nut in der \(s\)-Ebene mit der Logarithmusfunktion zu einer linearen Anordnung transformiert.
$$ w= \ln ( s ). $$
(2)
Im nächsten Schritt soll mithilfe einer weiteren konformen Abbildung der innere Bereich des Polygons in der \(w\)-Ebene in den inneren Bereich eines Rechtecks transformiert werden. Hierzu wird eine Modifikation der Schwarz–Christoffel (SC) – Transformation verwendet. Die SC – Transformation lässt sich nur in differentieller Form angeben, wobei die Lösung des SC-Integrals für Probleme mit mehr als drei Ecken im Allgemeinen schwierig ist. Deshalb wurde die frei verfügbare Matlab SC-Toolbox [9] zur numerischen Lösung der Funktion \(f(z)\), welche den inneren Bereich des Rechtecks in der \(z\)-Ebene in den inneren Bereich des Polygons in der \(w\)-Ebene transformiert, verwendet. Mit derselben Toolbox lässt sich, sobald \(f(z)\) berechnet wurde, die Umkehrfunktion sehr effizient berechnen.
$$ z= f^{-1} ( w ) =\alpha+j\cdot\beta $$
(3)
Zuletzt erfolgt die Abbildung des inneren Bereiches des Recktecks in den inneren Bereich eines Hohlzylindersegmentes, welches die Repräsentation eines ungenuteten Segmentes der Maschine darstellt. Die Größe des Rechtecks ist vor der Anwendung der numerischen SC-Abbildung nicht bekannt und muss daher mit der Breite des Rechtsecks (\(\Delta\alpha\)) in der \(z\)-Ebene skaliert werden, nachdem die SC-Transformation durchgeführt wurde.
$$ t = r_{si} \cdot e^{j \cdot z \cdot \frac{2\cdot \pi}{\Delta \alpha \cdot N_{r}}} $$
(4)
Nachdem die letzte Transformation durchgeführt wurde, resultiert ein ungenutetes Segment der Maschine, welches den gleichen Statorinnendurchmesser wie die Ausgangsgeometrie aufweist. Es muss an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass der Luftspalt, welcher hier als Distanz zwischen Statorinnendurchmesser und Rotorzahnkopf aufgefasst wird, sich gegenüber der Ausgangsgeometrie vergrößert hat. Die relative Aufweitung entspricht exakt dem aus der Literatur bekannten Carter-Faktor (\(k_{c}\)). Diesem Umstand kann entweder Rechnung getragen werden, indem die analytische Lösung der ungenuteten Maschine mit diesem aufgeweiteten Luftspalt berechnet wird, oder alternativ die Aufweitung des Luftspaltes in der Berechnung der relativen Luftspaltleitwerte berücksichtigt wird. Letzteres erscheint praktikabler, da die Berechnung der analytischen Lösung der ungenuteten Maschine und die Berechnung der relativen Luftspaltleitwerte unabhängig voneinander erfolgen können. Unter Berücksichtigung des Carter-Faktors ergeben sich die relativen Luftspaltleitwerte als partielle Ableitungen der konformen Abbildungen.
$$\begin{aligned} \underline{\lambda}_{rel} &= \frac{1}{k_{c}} \cdot \frac{dt}{ ds} = \frac{1}{k_{c}} \cdot \frac{\delta t}{\delta z} \cdot \frac{\delta z}{\delta w} \cdot \frac{\delta w}{\delta s} \\ & = \frac{1}{k_{c}} \cdot \biggl( j \cdot \frac{2\cdot \pi}{\Delta \alpha \cdot N_{r}} \cdot r_{si} \cdot e^{j \cdot z \cdot \frac{2\cdot \pi}{\Delta \alpha \cdot N_{r}}} \biggr) \cdot f^{-1\prime} ( z ) \cdot \frac{1}{s} \end{aligned}$$
(5)

3.2 Analytische Lösung der ungenuteten Maschine

Die Lösung der ungenuteten Maschine \(\underline{B}_{oN} ( r,\varphi )\) in der \(t\)-Ebene kann durch die Lösung des bekannten Problems einer permanentmagneterregten Synchronmaschine ohne Nutung erfolgen, wie sie beispielsweise in [5] ermittelt wurde. Da in dieser Arbeit eine Innenläufervariante der Flux Reversal Maschine untersucht wird, bei der die Magnete am Innendurchmesser des Stators angebracht werden, muss die Lösung aus [5] für einen Außenläufer verwendet werden. Mithilfe von dieser lässt sich unter Berücksichtigung des Polbedeckungsfaktors mithilfe des Superpositionsprinzips die Lösung \(\underline{B}_{oN} ( r,\varphi )\) bestimmen.

3.3 Evaluation der analytischen Feldlösung

Einen Vergleich der Luftspaltflussdichte der analytischen Lösung und der FEM-Lösung einer Maschine mit, NS–SN‘-Magnetisierung, \(N _{s}=12\) Statornuten und \(N _{r}=14\) Rotornuten (vgl. Abb. 1) zeigt Abb. 5. In Abb. 5(a) ist das Luftspaltfeld ohne Nutungseffekt und in Abb. 5(c) das Luftspaltfeld mit Nutungseffekt dargestellt und es zeigt sich eine gute Übereinstimmung beider Feldlösungen.
Abb. 5.

(a) Luftspaltflussdichte mit Nutung, (b) Funktion relativer Luftspaltleitwerte, (c) Luftspaltfeld mit Nutungseffekt und (d) Spektrum der Luftspaltflussdichte in radialer Richtung in der Mitte des Luftspaltes. ‘\(r\)’ steht für die radiale und ‘\(t\)’ für die tangentiale Feldkomponente

4 Automatisierte Wicklungsauslegung

Jede Maschinentopologie wird durch die Wahl der Anzahl an Statornuten (\(N _{s}\)) und Rotornuten (\(N _{r}\)), sowie durch die Anordnung der Magnete definiert (vgl. Abb. 3). Einige dieser Topologien wurden in der Literatur bereits untersucht [1, 2]. Unter wissenschaftlichen Gesichtspunkten ist eine unabhängige Untersuchung hinsichtlich der Optimalität der jeweiligen Wicklungen wünschenswert. Hieraus entstand die Motivation der Suche nach einer generellen Methode zur Auslegung geeigneter Drehstromwicklungen für flussmodulierte Maschinen. Als Eingangsparameter hierfür wird das Leerlauffeld am Statorinnendurchmesser benötigt. Die hier geschilderte Methode basiert auf dem Prinzip maximaler Flussverkettung, ist deterministisch, mit wenig Rechenaufwand implementierbar und vom Maschinentyp (hier Flux Reversal Maschine) unabhängig.

4.1 Berechnung des magnetischen Flusses im Zahn

Die Basis für die Wicklungsauslegung ist in der Berechnung des Flusses im Zahn zu sehen. Um den Rechenaufwand weiter zu reduzieren, ist es vorteilhaft Symmetrie in der Maschine zu berücksichtigen. Hierfür wird der Symmetriefaktor \(t\) eingeführt, welcher sich für die NS–NS-Magnetisierung als größter gemeinsamer Teiler der Anzahl an Rotor (\(N _{r}\)) und Statornuten (\(N _{s}\)) ergibt. Für NS–SN-Magnetisierung muss bei der Berechnung des größten gemeinsamen Teilers die Anzahl an Statornuten halbiert werden, da sich die Magnetisierung erst nach zwei Nutteilungen wieder periodisch fortsetzt.
$$ t = \left \{ \textstyle\begin{array}{l@{\quad }l} \mathrm{gcd} ( N_{r}, N_{s} ) & \mbox{f\"{u}r NS--NS--Magnetisierung}\\ \mathrm{gcd} ( N_{r}, {N_{s}} / {2} ) & \mbox{f\"{u}r NS--SN--Magnetisierung} \end{array}\displaystyle \right . $$
(6)
Der Fluss der ersten \(N _{s} /t\) Statorzähne lässt sich durch die Integration über eine Nutteilung berechnen. Da insbesondere bei flussmodulierten Maschinen Streuflüsse nicht vernachlässigt werden dürfen, sollte diese Integration so nah wie möglich am Statorinnenradius \(r _{si}\) erfolgen. Für die praktische Implementierung beträgt der Integrationsradius \(r=r_{si} -\varepsilon\) mit einem möglichst kleinen \(\varepsilon\), um sicherzustellen, dass die entsprechenden z-Werte im Bildbereich der Abbildung \(f(z)\) liegen. Mit der Anzahl an Windungen pro Einzelspule \(w _{s}\) und der Blechpaketlänge \(l _{e}\) ergibt sich für den verketteten Fluss des \(i\)-ten Statorzahnes für Rotorposition \(k\):
$$ \Psi_{N, i} ( k ) = w_{s} \cdot l_{e} \int_{\frac{2 \pi}{N_{s}} \cdot ( i -1 ) - \frac{\pi}{N_{s}}}^{\frac{2 \pi}{N_{s}} \cdot ( i -1 ) + \frac{\pi}{N_{s}}} real \bigl\{ \underline{B}_{k} ( r_{si} - \varepsilon, \varphi ) \bigr\} d\varphi $$
(7)
Für eine vollständige 360° Rotation des Rotors der Maschine müssen die relativen Luftspaltleitwerte mit dem Rotor mitrotieren. Dies kann entweder durch eine Fourierreihenentwicklung oder noch effizienter durch das elementweise Weiterschieben der Elemente des Arrays der komplexen relativen Luftspaltleitwerte vor der erneuten Auswertung von (1) realisiert werden.

4.2 Festlegung des Schaltschrittes

In einem ersten Schritt soll die Spulenweite einer Einzelspule ermittelt werden. Der Schaltschritt \(K\) ist als Spulenweite gezählt in Nutteilungen definiert. Ein Schaltschritt von \(K=1\) würde demnach einer Einzelzahnwicklung und \(K>1\) einer verteilten Wicklung entsprechen. \(K\) ist derart zu wählen, dass die Amplitude der Flussverkettung \(\vert \underline{\Psi}_{S,1}^{N_{r}} \vert \) hinsichtlich der Ordnungszahl \(p= N_{r}\) maximiert wird. Unter Berücksichtigung des Symmetriefaktors \(t\) ergibt sich als obere Grenze für einen sinnvollen Schaltschritt \({N_{s}} / {2t}\). Die geschilderten Überlegungen führen zur Formulierung des Optimierungsproblems in (8). Darin ist \(\Psi_{N,i}\) ein Vektor, welcher die Werte der Flussverkettung des \(i\)-ten Statorzahnes für unterschiedliche Rotorpositionen bei einer vollen Umdrehung des Rotors enthält. Die Funktion fft(\(x\), \(n\)) berechnet die Fouriertransformierte des Vektors \(x\) hinsichtlich der Ordnungszahl \(n\). \(N_{k}\) entspricht der Anzahl an ausgewerteten Rotorpositionen \(k\) für eine komplette Rotorumdrehung und somit der Länge des Vektor \(\Psi_{N,i}\). Da hinlänglich bekannt ist, dass die Anzahl an Rotorzähnen \(N _{r}\) der Polpaarzahl \(p\) bei Flux Reversal Maschinen entspricht, wird \(n\) gleich \(N _{r}\) gewählt.
$$ \textstyle\begin{array}{l@{\quad }l} \max &\bigl\vert \underline{\Psi}_{S,1}^{N_{r}} \bigr\vert \\ &\quad u.d.N.\\ &\quad \underline{\Psi}_{S,1}^{N_{r}} = \frac{2}{N_{k}} \cdot fft ( \Psi_{S,1}, N_{r} )\\ &\quad \Psi_{S,1} = \sum _{i=1}^{K} \Psi_{N,i} K\epsilon [ 1,\dots, {N_{s}} / {2t} ] \end{array} $$
(8)
Da die Anzahl an möglichen Lösungen mit \({N_{s}} / {2t}\) klein ist, kann dieses Problem durch vollständige Enumeration gelöst werden. Nach dem der Schaltschritt \(K\) berechnet wurde, kann der verkettete Fluss pro Spule bestimmt werden. Für den nächsten Schritt wird der verkettete Fluß \(\Psi_{S,i}\) für die ersten \(i=1,\ldots,N _{S}/t\) Spulen gem. (9) berechnet:
$$ \Psi_{S,i} = \sum_{k=i}^{i+K-1} \Psi_{N,j}\quad\mbox{mit }j= \left \{ \textstyle\begin{array}{l@{\quad }l} k\ \mathrm{mod}\ N_{s} /t &\forall k\neq N_{s} /t\\ N_{s} /t &\forall k= N_{s} /t \end{array}\displaystyle \right . $$
(9)

4.3 Verschaltung der Spulen zu Phasen

Im Folgenden Schritt werden \(N_{s} / ( t\cdot m_{s} )\) Spulen ausgewählt und zu einer Phase verschaltet, so dass deren Phasenlage zueinander hinsichtlich der Ordnungzahl \(p= N_{r}\) minimal zu 0 oder zu \(\pi \) ist. Im letzteren Falle erfolgt die Verschaltung in inverser Orientierung. Hierzu wird die Phasenlage jeder Spule hinsichtlich der Ordnungszahl \(p\) berechnet. Die Spule 1 wird der Phase \(U\) zugeordnet. Anschließend wird der Phasenabstand \(\Delta \varphi_{i}\) der ersten Spulen zu den übrigen \(N_{s} / ( t\cdot m_{s} ) -1\) Spulen berechnet und deren flussmaximierende Orientierung im Vektor \(\Gamma\) gespeichert.
$$ \underline{\Psi}_{S, i}^{N_{r}} = \frac{2}{N_{k}} \cdot fft ( \Psi_{S, i}, N_{r} )\quad \forall i = 1,\dots, N_{s} / t $$
(10)
$$ \Delta \varphi_{i} = \bigl\vert \arg \bigl( \underline{ \Psi}_{S, i}^{N_{r}} \bigr) - \arg \bigl( \underline{ \Psi}_{S,1}^{N_{r}} \bigr) \bigr\vert \quad \forall i = 1,\dots, N_{s} / t $$
(11)
$$ \Delta \varphi_{i}^{or} = \min ( \Delta \varphi_{i}\ \mathrm{mod}\ 2 \pi,\Delta \varphi_{i}\ \mathrm{mod}\ \pi ) $$
(12)
$$ \Gamma_{i}^{or} = \left \{ \textstyle\begin{array}{l@{\quad }l} 1 &\mbox{falls } \Delta \varphi_{i}\ \mathrm{mod}\ 2 \pi \leq \Delta \varphi_{i}\ \mathrm{mod}\ \pi\\ -1& \mbox{falls } \Delta \varphi_{i}\ \mathrm{mod}\ 2 \pi > \Delta \varphi_{i}\ \mathrm{mod}\ \pi \end{array}\displaystyle \right . $$
(13)
Die Zuordnung der verbliebenen \({N_{s}} / { ( t\cdot m_{s} ) -1} \) Spulen zur Phase \(U\) lässt sich besonders einfach realisieren, indem die Spulen nach \(\Delta \varphi_{i}^{or}\) aufsteigende der Phase \(U\) in der Orientierung \(\Gamma_{i}^{or}\) zugeordnet werden. Der mit der Phase \(U\) verkettete Fluss kann anschließend unter Berücksichtigung des Symmetriefaktors \(t\) gem. (14) berechnet werden. Dabei sortiert die Funktion sort(\(x\), \(y\)) die Indizes \(i\) derart um, dass diese mit \(\Delta \varphi_{i}^{or}\) aufsteigend angeordnet sind.
$$ \Psi_{\mathrm{U}} = t \cdot \sum_{i =1}^{{N_{s}} / { ( t \cdot m_{s} )}} \mathrm{sort} \bigl( \Psi_{S, i} \cdot \Gamma_{i}^{or}, \Delta \varphi_{i}^{or} \bigr). $$
(14)
Wenn die Wicklung sich symmetrisch aufbauen lässt, besteht keine Notwendigkeit die verketteten Flüsse der anderen Phasen zu berechnen. Um die Symmetrie der Drehstromwicklung sicherzustellen, wird das Prozedere für die weiteren Phasen wiederholt.

5 Optimierungsmethodik

Nach der Berechnung des verketteten Flusses pro Phase lässt sich das Drehmoment über (15) bestimmen.
$$ \mathrm{T}= \frac{m_{s} \cdot N_{r}}{2} \cdot \psi_{d} \cdot i_{q} $$
(15)
Für die Optimierung werden die Schritte in Abb. 6 vollzogen. Aus Gründen der Vergleichbarkeit werden der Statorinnen- und der Statoraussendurchmesser, die Magnethöhe sowie Stator- und Rotornuthöhe konstant gehalten. Variiert werden die Verhältnisse von Statornut zu Statorzahn sowie von Rotornut zu Rotorzahn, da diese Größen maßgeblich für den Modulationseffekt sind. Die Magnetbreiten sind über das Verhältnis von Statornut zu Statorzahn bestimmt. Die Spulenwindungszahl \(w _{s}\) wird derart angepasst, dass die magnetomotorische Kraft (MMF) konstant bleibt und ist somit eine Funktion der Statornutenzahl \(N _{s}\). Die in Abb. 6 geschilderte Optimierungsprozedur wird zweimal durchlaufen: Einmal auf Basis einer gemäß Kapitel 3 durchgeführten analytischen Feldberechnung und anschließend auf Basis einer FEM-Feldberechnung, mit dem Optimierungsergebnis der vorangegangenen analytischen Rechnung als Startwert. Zur Verifikation der Rechnung erfolgt eine FEM-Rechnung mit Stromspeisung. Hierzu wird die kommerzielle Software Opera Vectorfields eingesetzt, mit welcher weitere Zielgrößen, wie Drehmomentrippel, Rastmomente und Normalkräfte berechnet werden.
Abb. 6.

Optimierungsschritte für Flux Reversal Maschine

6 Ergebnisse

Im Folgenden werden als Ergebnis der Methodik die Performance-Kennwerte der optimierten Topologien, wie mittleres Drehmoment, Drehmomentrippel, Normalkraft und die gefundenen Drehstromwicklungen betrachtet.

6.1 Performance-Kennwerte

Die Topologien werden anhand der Performance-Kennwerte Drehmoment, Drehmomentrippel und Normalkräfte evaluiert. Abbildung 7 zeigt die Drehmomente und Drehmomentrippel für alle Topologien für dreiphasige Flux Reversal Machinen mit bis zu 24 Statornuten und bis zu 30 Rotornuten für den Fall einer NS–NS-Magnetisierung. Die lokalen Maxima der Drehmomente unterliegen der Regel in (16), wobei die Drehmomentmaxima sich für Rotornutenzahlen ergeben, welche die Anzahl der Statornuten um eine Nut überschreiten. Auch die Drehmomentrippel sind für diese Topologien klein und liegen, mit Ausnahme von \(N _{s} =3\), stets unterhalb von 5%.
$$ N_{r} =k\cdot N_{s} \pm1\quad\mbox{f\"{u}r }k \mathbb{\in N} $$
(16)
Abbildung 8 zeigt die Topologien für NS–SN-Magnetisierung. Diese Topologien sind zudem interessant, da sie sich auch für eine Flux Switching Bauweise eignen. Eine einfache Regel lässt sich für diese Maschinen nicht aufstellen. Es ergeben sich allerdings eindeutige Maxima für die Topologien mit 6, 12, 18 und 24 Statornuten bei 8, 7, 10 und 13 Rotornuten. Abbildung 9 zeigt die während einer Umdrehung im Leerlauf maximal auftretenden unausgeglichenen Normalkräfte, welche von Null verschieden sind, wenn entweder \(N _{s}\) oder \(N _{r}\) eine ungerade Zahl ist.
Abb. 7.

(a) Drehmoment und (b) Drehmomentrippel in % für NS–NS-Magnetisierung

Abb. 8.

Drehmoment und Drehmomentrippel in % für NS–SN-Magnetisierung

Abb. 9.

Unausgeglichene Normalkräfte für (a) NS–NS-Magnetisierung und (b) SN–SN-Magnetisierung

6.2 Drehstromwicklungen

Die nach dem in Kapitel 4 eingeführten Algorithmus aufgefunden Wicklungen können den Tab. 1 und 2 entnommen werden. In diesen sind die Statorpolpaare und der fundamentale Wicklungsfaktor angegeben. Darüber hinaus ist der Schaltschritt in Vielfachen einer Nutteilung angegeben. Dieser ist gemäß Kapitel 4.2 definiert und ermittelt worden.
Tab. 1.

Wicklungen bei NS–NS-Magnetisierung. Diese werden durch den Wicklungsfaktor (\(WF\)), Statorpolpaarzahl (\(p\)) und Schaltschritt (\(K\)) charakterisiert. Die Wicklungsschemata der Topologien, für welche sich hinsichtlich des Drehmomentes lokale Maxima ergeben, werden in Abb. 10 angegeben (#)

\(N_{s}\)

\(N_{r}\)

4

5

7

8

10

11

12

13

14

15

16

17

19

20

21

22

23

24

25

26

28

29

30

3

WF

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p

1

1

1

1

1

1

 

1

1

 

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1

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1

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1

 

K

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1

1

2

1

1

 

1

1

 

1

1

1

1

 

1

1

 

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1

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WF

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1

2

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3

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3

3

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3

 

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3

 

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3

                  

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4

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4

2

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1

2

 

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5

 

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6

6

4

 

3

6

 

6

3

1

6

 

#

       

4

               

15

WF

0,000

0,866

0,951

0,951

0,866

0,951

 

0,951

0,799

 

0,951

0,951

0,951

0,866

 

0,951

0,951

0,866

0,951

    

p

0

5

7

7

5

4

 

2

1

 

1

2

4

5

 

7

7

5

4

    

K

0

4

1

1

4

2

 

4

7

 

7

4

2

7

 

1

1

7

2

    

#

          

5

            

18

WF

0,945

0,945

0,945

0,945

0,945

0,960

0,866

0,960

0,945

1,000

0,725

0,736

0,960

0,945

1,000

0,945

0,960

0,866

0,960

0,945

0,945

0,960

0,866

p

2

2

4

2

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

8

7

6

K

4

4

2

4

1

9

4

9

2

9

4

9

9

4

3

2

9

1

9

8

1

9

5

#

            

6

          

24

WF

1,000

1,000

1,000

0,866

1,000

0,966

 

0,966

0,966

 

0,866

0,958

0,958

1,000

 

0,966

0,958

0,866

0,958

0,966

1,000

0,958

 

p

4

4

4

8

4

2

 

2

10

 

8

7

5

4

 

2

1

8

1

2

4

5

 

K

9

9

3

2

3

6

 

6

6

 

4

12

12

9

 

6

12

11

12

6

9

12

 

#

                  

7

    
Tab. 2.

Wicklungen bei NS–SN-Magnetisierung

\(N_{s}\)

\(N_{r}\)

4

5

7

8

10

11

12

13

14

15

16

17

19

20

21

22

23

24

25

26

28

29

30

6

WF

1,000

0,866

0,866

1,000

1,000

0,866

 

0,866

1,000

 

1,000

0,866

0,866

1,000

 

1,000

0,866

0,000

0,866

1,000

1,000

0,866

 

p

1

2

2

1

1

2

 

2

1

 

1

2

2

1

 

1

2

0

2

1

1

2

 

K

3

1

1

3

3

1

 

1

3

 

3

1

1

3

 

3

1

0

1

3

3

1

 

#

   

2

                   

12

WF

1,000

0,966

0,966

1,000

0,866

0,707

 

0,707

0,866

 

1,000

0,966

0,966

1,000

 

0,866

0,966

0,000

0,000

0,866

1,000

0,966

 

p

2

1

1

2

4

1

 

1

4

 

2

1

1

2

 

4

5

0

0

4

2

1

 

K

3

6

6

3

4

6

 

6

4

 

3

6

6

3

 

4

6

0

0

1

3

6

 

#

  

4

        

4

           

18

WF

0,960

0,945

0,725

0,736

0,960

0,945

1,000

0,945

0,960

0,866

0,960

0,945

0,945

0,960

0,866

0,960

0,945

1,000

0,945

0,736

0,960

0,945

1,000

p

5

4

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

K

9

7

4

9

9

4

3

2

9

7

9

1

1

9

7

9

2

3

5

9

9

4

3

#

    

6

                  

24

WF

0,866

0,966

0,958

1,000

0,966

0,958

 

0,958

0,966

 

1,000

0,958

0,958

0,866

 

0,707

0,958

0,000

0,958

0,966

0,866

0,958

 

p

8

2

5

4

2

1

 

1

2

 

4

5

7

8

 

2

11

0

11

10

8

7

 

K

10

6

12

3

6

12

 

12

6

 

3

12

12

10

 

6

12

0

12

6

1

12

 

#

       

7

               
Abbildung 10 zeigt für einige ausgewählte Topologien die Wickelschemata. Es zeigt sich, dass sich die lokalen Maxima der Drehmomente dort erzielen lassen, wo der Quotient aus der Anzahl an Rotornuten und der Statorpolpaarzahl groß ist. Bei der Wicklungsauslegung wurde der Freiheitsgrad von Zweischichtwicklungen zugrunde gelegt. Viele der aufgefundenen Wicklungen lassen sich jedoch als Einschichtwicklungen ausführen.
Abb. 10.

Wicklungsschemata einiger Drehstromwicklungen aus den Tab. 1 und 2

7 Zusammenfassung

Eine Topologie einer Flux Reversal Maschine ist definiert durch eine geeignete Kombination von Stator- und Rotornuten und der Auswahl einer von zwei möglichen Magnetisierungsformen. Um eine Übersichtsstudie über diese Topologien vorzunehmen wurde ein analytisches Rechenmodell eingeführt. Der für diese Maschine wichtige Flussmodulationseffekt wurde mithilfe eines Ein-Nut-Modells unter Verwendung konformer Abbildungen realisiert. Anschließend wurde für jede Topologie die Wicklung ermittelt, welche den verketten Leerlauffluss maximiert. Die hierzu verwendete Methode ist detailliert in dieser Arbeit angegeben. Mit der so entstandenen Toolkette wurde das Drehmoment bei gleicher Durchflutung für jede Topologie optimiert. Darüber hinaus wurden die aufgefundenen Wicklungen charakterisiert und die Wickelschemata der Maschinen, die das höchste Drehmoment aufwiesen, sind in der Arbeit angegeben.

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Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für Elektrische Maschinen, Antriebe und BahnenTechnische Universität BraunschweigBraunschweigDeutschland

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