Une généralisation du théorème de Kobayashi-Ochiai

Résumé

Dans cet article, nous établissons des relations entre la croissance des applications non-dégénérées $\varphi$ de ${\mathbb{C}}^n$ dans une varitété kählérienne compacte X de dimension n et la positivité du fibré canonique K _X . Le principe général étant que la croissance de $\varphi$ augmente avec la positivité de K _X . Dans le cas extrême où X est de type général, de telles applications n’existent pas, un résultat dû à Kobayashi-Ochiai. A l’extrême opposé, si la croissance est suffisamment lente (voir théorème 1), nous montrons que X est uniréglée si projective. La conclusion plus faible: X n’a pas de forme pluricanonique non-nulle est due à K. Kodaira. Nos résultats interpolent entre ces deux cas extrêmes inclus.

Abstract

We establish relations between the growth of non-degenerate holomorphic maps $\varphi$ from ${\mathbb{C}}^n$ to X, an n-dimensional compact Kähler manifold, and the positivity of the canonical bundle of X. The general principle is that the growth increases with this positivity. In the extreme case where X is of general type, such maps do not exist, a result of Kobayashi-Ochiai. In the other extreme, if the growth is sufficiently slow (see theorem 1), we show that X is uniruled if projective. K. Kodaira obtained the weaker property that X has no nonzero pluricanonical forms. Our results interpolate between, and include, these two extreme cases.