Global Well-Posedness of the Euler–Korteweg System for Small Irrotational Data

Abstract

The Euler–Korteweg equations are a modification of the Euler equations that take into account capillary effects. In the general case they form a quasi-linear system that can be recast as a degenerate Schrödinger type equation. Local well-posedness (in subcritical Sobolev spaces) was obtained by Benzoni–Danchin–Descombes in any space dimension, however, except in some special case (semi-linear with particular pressure) no global well-posedness is known. We prove here that under a natural stability condition on the pressure, global well-posedness holds in dimension ${d \geq 3}$ for small irrotational initial data. The proof is based on a modified energy estimate, standard dispersive properties if ${d \geq 5}$, and a careful study of the structure of quadratic nonlinearities in dimension 3 and 4, involving the method of space time resonances.

Résumé

Les équations d’Euler–Korteweg sont une modification des équations d’Euler prenant en compte l’effet de la capillarité. Dans le cas général elles forment un système quasi-linéaire qui peut se reformuler comme une équation de Schrödinger dégénérée. L’existence locale de solutions fortes a été obtenue par Benzoni–Danchin–Descombes en toute dimension, mais sauf cas très particuliers il n’existe pas de résultat d’existence globale. En dimension au moins 3, et sous une condition naturelle de stabilité sur la pression on prouve que pour toute donnée initiale irrotationnelle petite, la solution est globale. La preuve s’appuie sur une estimation d’énergie modifiée. En dimension au moins 5 les propriétés standard de dispersion suffisent pour conclure tandis que les dimensions 3 et 4 requièrent une étude précise de la structure des nonlinéarités quadratiques pour utiliser la méthode des résonances temps espaces.