La formule des traces pour les algèbres de Lie

Abstract.

Nous établissons un analogue pour les algèbres de Lie de la formule des traces d'Arthur-Selberg. Soit G un groupe réductif connexe défini sur ${\Bbb Q}$ et $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. On considère $(J_{\mathfrak{o}})$ et $(\hat{J}_{\mathfrak{o}})$ deux familles de distributions sur les points adéliques de $\mathfrak{g}$, chacune in dexée par les classes $\mathfrak{o}$ de $G({\Bbb Q})$-conjugaison semi-simple dans $\mathfrak{g}({\Bbb Q})$ : la première est formée des analogues des termes du côté géométrique de la formule des traces pour les groupes et la seconde de leurs transformées de Fourier. On montre que pour toute fontion f dans la classe de Schwartz

$\sum_{\mathfrak{o}}J_{\mathfrak{o}}(f)=\sum_{\mathfrak{o}}\hat{J}_{\mathfrak{o}}(f),$

et que ces deux sommes convergent absolument. C'est cette égalité qui est un analogue de la formule d'Arthur-Selberg. Une telle formule peut étre utile pour des problèmes d'analyse harmonique locale. Pour terminer, nous exprimons les termes associés aux classes de conjugaison semi-simples régulières à l'aide d'intégrales orbitales pondérées.