Wasserstein distance and the rectifiability of doubling measures: part I

Abstract

Let $\mu$ be a doubling measure in ${\mathbb {R}}^n$. We investigate quantitative relations between the rectifiability of $\mu$ and its distance to flat measures. More precisely, for $x$ in the support $\Sigma$ of $\mu$ and $r > 0$, we introduce a number $\alpha (x,r)\in (0,1]$ that measures, in terms of a variant of the $L^1$-Wasserstein distance, the minimal distance between the restriction of $\mu$ to $B(x,r)$ and a multiple of the Lebesgue measure on an affine subspace that meets $B(x,r/2)$. We show that the set of points of $\Sigma$ where $\int _0^1 \alpha (x,r) {dr \over r} < \infty$ can be decomposed into rectifiable pieces of various dimensions. We obtain additional control on the pieces and the size of $\mu$ when we assume that some Carleson measure estimates hold.

Résumé en Français

 Soit $\mu$ une mesure doublante dans ${\mathbb {R}}^n$. On étudie des relations quantifiées entre la rectifiabilité de $\mu$ et la distance entre $\mu$ et les mesures plates. Plus précisément, on utilise une variante de la $L^1$-distance de Wasserstein pour définir, pour $x$ dans le support $\Sigma$ de $\mu$ et $r>0$, un nombre $\alpha (x,r)$ qui mesure la distance minimale entre la restriction de $\mu$ à $B(x,r)$ et une mesure de Lebesgue sur un sous-espace affine passant par $B(x,r/2)$. On décompose l’ensemble des points $x\in \Sigma$ tels que $\int _0^1 \alpha (x,r) {dr \over r} < \infty$ en parties rectifiables de dimensions diverses, et on obtient un meilleur contrôle de ces parties et de la taille de $\mu$ quand les $\alpha (x,r)$ vérifient certaines conditions de Carleson.