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Archiv der Mathematik

, Volume 70, Issue 3, pp 197–203 | Cite as

Unlösbarkeit der Gleichung xn - y2 = azm bei kleinem ggT (n,h(-a))

  • Klaus Langmann
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Abstract.

Zunächst wird gezeigt, daß bei ñ: = n / ggT (n,h(-a)) und \( \varphi (\tilde {n})\ge 8 \) die Gleichung x n - y 2 = a für fast alle a höchstens \( 2(1 + {1\over 2}\varphi (n))^t \) viele ganzzahlige teilerfremde Lösungen (x,y) hat, wobei t die Anzahl der verschiedenen Primteiler von a bedeutet. Dann wird die Gleichung x n - y 2 = az 2 m betrachtet; falls \( \tilde {n}\ge {\rm Max}(6,14-2m) \) ist, hat diese Gleichung für fast alle a keine ganzzahligen Lösungen. Hiermit ergeben sich unter der Schinzelschen Vermutung Aussagen über Klassenzahlen in arithmetischen Progressionen: Sind \( \alpha ,\beta \) zwei teilerfremde natürliche Zahlen, so daß z.B. \( 2-\beta \) quadratischer Rest \(\bmod \,\alpha \) ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl n unendlich viele Primzahlen p mit \( h(-p)\equiv 0\,\bmod \,n \) in der arithmetischen Progression \( \alpha x +\beta \).

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Copyright information

© Birkhäuser Verlag, Basel 1998

Authors and Affiliations

  • Klaus Langmann
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut, Universität Münster, Einsteinstr. 62, D-48149 Münster, Germany DE

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