Primitive Primteiler von $ {\mit\Phi} _d (a) $ in Ringen ganzer Zahlen

Abstract.

Es sei $L/ {\Bbb Q}$ eine endliche Körpererweiterung und ${\cal O}_L$ der Ring der ganzen Zahlen von L. Wir untersuchen, in Analogie zum Fall $L = {\Bbb Q}$, wann alle Potenzen ${\frak p}^{k+1}$ eines Primideals ${\frak p}$ von ${\cal O}_L$ das von ${\mit\Phi} _d (a^{p^k})$ erzeugte Ideal teilen. Hier bezeichnet ${\mit\Phi} _d (X)$ das d-te Kreisteilungspolynom, die Primzahl p erzeugt das unter ${\frak p}$ liegende Primideal von ${\Bbb Z}$ und $a \in {\cal O}_L$. Dies sind genau die primitiven Primfaktoren ${\frak p}$ von ${\mit\Phi} _d (a)$, d.h. sie teilen ${\mit\Phi} _d (a)$ aber kein ${\mit\Phi} _m (a)$ für m < d. Ist $p\notin {\frak p}^2$, so ist dies genau dann der Fall, wenn ${\mit\Phi} _d (a^p)$ von ${\frak p}^2$ geteilt wird. Wenn L eine quadratische Erweiterung von ${\Bbb Q}$ ist, so lassen sich diejenigen natürlichen Zahlen n, die keine in ${\cal O}_L$ verzweigenden Primfaktoren haben und Teiler von ${\mit\Phi} _d (a^n)$ sind, vollständig charakterisieren.