Advertisement

Archiv der Mathematik

, Volume 69, Issue 3, pp 209–216 | Cite as

Primitive Primteiler von $ {\mit\Phi} _d (a) $ in Ringen ganzer Zahlen

  • Andreas Bartholomé
  • Ulrich Porsch
  • 37 Downloads

Abstract.

Es sei \( L/ {\Bbb Q} \) eine endliche Körpererweiterung und \( {\cal O}_L \) der Ring der ganzen Zahlen von L. Wir untersuchen, in Analogie zum Fall \( L = {\Bbb Q} \), wann alle Potenzen \( {\frak p}^{k+1} \) eines Primideals \( {\frak p} \) von \( {\cal O}_L \) das von \( {\mit\Phi} _d (a^{p^k}) \) erzeugte Ideal teilen. Hier bezeichnet \( {\mit\Phi} _d (X) \) das d-te Kreisteilungspolynom, die Primzahl p erzeugt das unter \( {\frak p} \) liegende Primideal von \( {\Bbb Z} \) und \( a \in {\cal O}_L \). Dies sind genau die primitiven Primfaktoren \( {\frak p} \) von \( {\mit\Phi} _d (a) \), d.h. sie teilen \( {\mit\Phi} _d (a) \) aber kein \( {\mit\Phi} _m (a) \) für m < d. Ist \( p\notin {\frak p}^2 \), so ist dies genau dann der Fall, wenn \( {\mit\Phi} _d (a^p) \) von \( {\frak p}^2 \) geteilt wird. Wenn L eine quadratische Erweiterung von \( {\Bbb Q} \) ist, so lassen sich diejenigen natürlichen Zahlen n, die keine in \( {\cal O}_L \) verzweigenden Primfaktoren haben und Teiler von \( {\mit\Phi} _d (a^n) \) sind, vollständig charakterisieren.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Copyright information

© Birkhäuser Verlag, Basel 1997

Authors and Affiliations

  • Andreas Bartholomé
    • 1
  • Ulrich Porsch
    • 2
  1. 1.Schirmgasse 275, D-84028 Landshut, GermanyDE
  2. 2.Humboldstraße 26a, D-69120 Heidelberg, GermanyDE

Personalised recommendations