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Funktionales Denken

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Denn die Wissenschaft bedeutet nicht beschauliches Ausruhen im Besitz gewonnener Erkenntnis,sondern sie bedeutet rastlose Arbeit und stets vorwärtsschreitende Entwicklung.

Max Planck

Abstract

The concept of “functional thinking” has a long tradition in mathematics education. It was a fundamental goal in the Meran proposals for mathematics teaching (1905). After a period of enthusiastic acceptance it became out of fashion during the “new math” era. But it has been rediscovered in the last decade. This paper is a report about this development. It reviews contributions to this concept, and it tries to make evident that functional thinking is a fruitful didactical concept.

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Literatur

  • Andelfinger, B., Didaktischer Informationsdienst, Mathematik, Thema: Proportion, Neuss 1982

    Google Scholar 

  • Andelfinger, B., Arithmetik und algebraische Lernerkonzepte in der SI, BMU (1984) 71–74

    Google Scholar 

  • Andelfinger, B., Didaktischer Informationsdienst, Mathematik, Thema: Arithmetik, Algebra und Funktionen, Soest 1987

    Google Scholar 

  • Bandura, A., Sozialkognitive Lerntheorie, Stuttgart 1979

    Google Scholar 

  • Bauersfeld, H., Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und- lehrens, in: H. Bauersfeld u.a. (Hrsg.) Lernen und Lehren von Mathematik, IDM 6, Köln 1983, 1–56

    Google Scholar 

  • Baumann, R., Rez.: Briel,W.v., R. Neveling, Grundkurs Analysis, ZDM 13 (1981)122–125

    Google Scholar 

  • Bender, P., Anschauliches Beweisen im Geometrie-Unterricht- unter besonderer Berücksichtigung von (stetigen) Bewegungen bzw. Verformungen, Gesamthochschule Kassel, Preprint 1987

    Google Scholar 

  • Blum, W., A. Kirsch, Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen, MU 25, Heft 3 (1979) 6–24

    Google Scholar 

  • Blum, W., G. Törner, Didaktik der Analysis, Göttingen 1983

    Google Scholar 

  • Braunfeld, P., Ein neuer Zugang zur Bruchrechnung vom Standpunkt der Operatoren, BMU (1968) 209–217

    Google Scholar 

  • Brüning, A., K. Spallek, Eine inhaltliche Gestaltung der Gleichungslehre: Terme oder Abbildungen und Funktionen, MPSB 25 (1978) 236–271

    Google Scholar 

  • Burscheid, H.J., W. Mellis, The Construction of the Fraction Concept and the Addition of Fractions as Content of an Empirical Theory, In: H.G. Steiner, A. Vermandel (Hrsg.), Foundations and Methodology of the Discipline Mathematics Education (Didactics of Mathematics), Proc. 2nd TME-Conference, Bielefeld-Antwerpen 1988, 226–235

    Google Scholar 

  • Burton, L., Mathematical thinking: The struggle for meaning, JRME 15 (1984) 35–49

    Google Scholar 

  • Dörfler, W., Die Genese mathematischer Objekte und Operationen aus Handlungen als kognitive Konstruktion, in: W. Dörfler (Hrsg.), Kognitive Aspekte mathematischer Begriffsentwicklung, Wien 1988, 55–125

    Google Scholar 

  • Dreyfus, T., T. Eisenberg, Intuitive functional concepts:A baseline study on intuitions, JRME 13 (1982) 360–380

    Google Scholar 

  • Du Bois-Reymond, E., Kulturgeschichte und Naturwissenschaft, 1877, In: S. Wollgast (Hrsg.) E. Du Bois-Reymond, Vorträge über Philosophie und Gesellschaft, Hamburg 1974

    Google Scholar 

  • Engel, E., Raumlehre, Langensalza 1922

    Google Scholar 

  • Fischer, R., Fundamentale Ideen bei den reellen Funktionen, ZDM 8(1976) 185–192

    Google Scholar 

  • Fischer, R., G. Malle, Mensch und Mathematik, Mannheim 1985

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H., Mathematik als pädagogische Aufgabe, Bd. 1,2, Stuttgart 1973

    Google Scholar 

  • Freudenthal, H., Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Dordrecht 1983

    Google Scholar 

  • Führer, L., Zur Entstehung und Begründung des Analysisunterrichts an allgemeinbildenden Schulen, MU 27, Heft 5 (1981) 81–122

    Google Scholar 

  • Führer, L., „Funktionales Denken”: Bewegtes fassen-das Gefaßte bewegen. Math. Lehren 11 (1985) 12–13

    Google Scholar 

  • Gutzmer, A., Bericht betreffend den Unterricht in der Mathematik an den neunklassigen höheren Lehranstalten, MU 26, Heft 6 (1980) 53–62; Nachdruck aus: A. Gutzmer (Hrsg.) Die Tätigkeit der Unterrichtskommission derGesellschaft Deutscher Nachforscher und Ärzte, Leipzig 1908

    Google Scholar 

  • Häussier, P., Denken und Lernen Jugendlicher beim Erkennen funktionaler Beziehungen, Bern 1981

    Google Scholar 

  • Hamley, H.R., Relational and Functional Thinking, 9th yearbook 1935, NCTM,Reprint AMS Press, New York 1966

    Google Scholar 

  • Hart, K.M., Children’s Understanding of Mathematics: 11–16, London 1981

    Google Scholar 

  • von Harten, G., M. Otte, Gleichungen, in: G. von Harten u.a., Funktionsbegriff und funktionales Denken, Köln 1986, 131–180

    Google Scholar 

  • von Harten, G., H.N. Jahnke, T. Mormann, M. Otte, F. Seeger, H. Steinbring, H. Stellmacher, Funktionsbegriff und funktionales Denken, Köln 1986

    Google Scholar 

  • Helmholz, C.P., Zum funktionalen Denken im Mathematikunterricht, MSch 16 (1978) 303–309

    Google Scholar 

  • Henn, H.-W., Meßwertanalyse — Eine Anwendungsaufgabe im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I, MNU 41 (1988) 143–151

    Google Scholar 

  • Hering, H., Wie reagiert eine Funktion auf additive Änderungen des Arguments? MU 28, Heft 3(1982) 50–66

    Google Scholar 

  • Höfler, A., Didaktik des mathematischen Unterrichts, Leipzig 1910

    Google Scholar 

  • Inhelder, B., J. Piaget, The Growth of Logical Thinking from Childhood to Adolescence, New York 1958

    Google Scholar 

  • Inhetveen, H., Die Reform des gymnasialen Mathematikunterrichts zwischen 1890 und 1914, Bad Heilbrunn 1976

    Google Scholar 

  • Jahnke, H.N., F. Seeger, Proportionalität, in: v. Harten, G. u.a., Funktionsbegriff und funktionales Denken, Köln 1986, 35–83

    Google Scholar 

  • Jung, W., Wachsende Kluft zwischen Schulmathematik und Schulphysik? BMU 1976, Hannover (1976) 95–102

    Google Scholar 

  • Janvier, C., The interpretation of complex Cartesian graphs representing situations-Studies and teaching experiments, University of Nottigham 1978

    Google Scholar 

  • Karplus, R., S. Pulos, E.K. Stage, Proportional reasoning of early adolescents, in: R. Lesh, M. Landau, Acquisition of Mathematics Concepts and Processes, New York 1983, 45–86

    Google Scholar 

  • Karaschewski, Wesen und Weg des ganzheitliehen Rechenunterrichts, Teil II, Stuttgart 1970

    Google Scholar 

  • Kiesow, N., K. Spallek, Zum funktionalen Ansatz in der Schulmathematik — Ein inhaltlich-operativer Zugang zum Funktionsbegriff, JMD 4 (1983) 3–38

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., Eine Analyse der sogenannten Schlußrechnung, MPSB 16 (1969) 41–55

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., Elementare Zahlen-und Größenbereiche, Göttingen 1970

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., Eine „intellektuell ehrliche” Einführung des Integralbegriffs in Grundkursen, DdM 4 (1976a) 87–105

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., Vorschläge zur Behandlung von Wachstumsprozessen und Exponentialfunktionen im Mittelstufenunterricht, DdM 4 (1976b) 257–284

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht, DdM 5 (1977) 87–101

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., Zuordnungstafeln und Operatorpfeile: Vorschläge zum Arbeiten mit Funktionseigenschaften statt Funktionstermen, MU 28, Heft 3 (1982) 28–49

    Google Scholar 

  • Kirsch, A., Lineare Funktionen zweier Veränderlicher als erschließender Unterrichtsgegenstand, math.did.9 (1986) 133–158

    Google Scholar 

  • Klein, F., Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus, 1. Band, Berlin 19334

  • Klein, F., E. Riecke, Neue Beiträge zur Frage des mathematischen und physikalischen Unterrichts an den höheren Schulen, Leipzig 1904

    Google Scholar 

  • Krauskopf, R., Der funktionale Aspekt der Schulmathematik — Bemerkungen zur Ungleichungslehre, MU 26, Heft 1 (1980) 42–55

    Google Scholar 

  • Lauter, J., Aufbau der elementaren Gleichungslehre nach logischen und mengentheoretischen Gesichtspunkten, MU 10, Heft 5 (1964) 59–119

    Google Scholar 

  • Lenné, H., Analyse der Mathematikdidaktik in Deutschland, Stuttgart 1969

    Google Scholar 

  • Lietzmann, W., Methodik des mathematischen Unterrichts, 1. Teil, Leipzig 19262

  • Lietzmann, W., Methodik des mathematischen Unterrichts, 2. Teil, Leipzig, 19222

  • Lietzmann, W., R. Stender, Methodik des mathematischen Unterrichts, Heidelberg 1961

    Google Scholar 

  • Löffler, E. (Hrsg.) Die axiomatische Methode im Schulunterricht, MU 12, Heft 3 (1966)

    Google Scholar 

  • Mach, E., Erkenntnis und Irrtum, Leipzig 1905

    Google Scholar 

  • Mach, E., Die Prinzipien der Wärmelehre, Leipzig 19193 (Nachdruck: Frankfurt 1981)

    Google Scholar 

  • Meißner, H., Schülerstrategien bei einem Taschenrechnerspiel, JMD 8 (1987) 105–128

    Google Scholar 

  • Menger, K., Calculus, A. Modern Approach, Chicago 19532

    Google Scholar 

  • Nägerl, H., J. Zerbst, Transferprobleme der Studienanfänger beim Umgang mit affinen Funktionen, math.did.3 (1978) 99–117

    Google Scholar 

  • Neigenfind, F., „Alte” Fragen, gestern und heute, MSch 18 (1980) 604–614

    Google Scholar 

  • Nguyen, B.K., Zur Entwicklung der funktionalen Denkweise im Mathematikunterricht, MSch 20 (1982) 139–147

    Google Scholar 

  • Oehl, W., Der Rechenunterricht in der Hauptschule, Hannover 1965

    Google Scholar 

  • Otte, M., H. Steinbring, Probleme der Begriffsentwicklung — zum Stetigkeitsbegriff, DdM 5 (1977) 6–25

    Google Scholar 

  • Padberg, F., Didaktik der Bruchrechnung, Freiburg 1978

    Google Scholar 

  • Papy, G., Mathematique moderne 1, Prise De Keyn, 1964

    Google Scholar 

  • Piaget, J., B. Inhelder, The Growth of Logical Thinking from Childhood to Adolescence, New York 1958

    Google Scholar 

  • Piaget, J., J.-B. Grize, A. Szeminska, V. Bang, Epistemologie und Psychologie der Funktion, Stuttgart 1977

    Google Scholar 

  • Pickert, G., Der Mengen-und Funktionsbegriff in der Anfängervorlesung, MPSB 5 (1955/56b) 71–79

    Google Scholar 

  • Piekert, G., Bemerkungen zum Funktionsbegriff, MNU 8 (1955/56a) 394–397

    Google Scholar 

  • Piekert, G., Bemerkungen zum Funktionsbegriff, MU 11, (1958/59) 223–224

    Google Scholar 

  • Piekert, G., Bemerkungen zum Variablenbegriff, MPSB 7 (1960/61) 76–88

    Google Scholar 

  • Piekert, G., Didaktische Bemerkungen zum Relationsbegriff, MU 19, Heft 6 (1973) 5–23

    Google Scholar 

  • Planck, Der Kausalbegriff in der Physik, Leipzig 19484

    Google Scholar 

  • Pringsheim, A., Grundlagen der allgemeinen Funktionslehre, Enzykl.d.Math.Wiss.,Bd. II 1.1, Leipzig (1899-1916) 1–188

    Google Scholar 

  • Ricco, G., Les premières acquisitions de la notion de fonction lineaire chez l’enfant de 7 a 11 ans, ESTM 13 (1982) 289–327

    Google Scholar 

  • Rudert, G., Die Grundlagen des funktionalen Denkens in ihrer Bedeutung für den ersten mathematischen Unterricht, Berlin 1919

    Google Scholar 

  • Ruth, W., Dreisatzrechnung als Propädeutik der Funktionenlehre, MU 3, Heft 3, (1957) 75–88

    Google Scholar 

  • Sachsse, H., Kausalität — Gesetzlichkeit — Wahrscheinlichkeit, Darmstadt 1979

    Google Scholar 

  • Schuberth, E., Die Modernisierung des mathematischen Unterrichts, Stuttgart 1971

    Google Scholar 

  • Schultze, A., The teaching of mathematics in secondary school, New York 1928

    Google Scholar 

  • Schlöglmann, W., Erarbeitung eines "intuitiven" Verständnisses von Funktionseigenschaften, BMU (1984) 305–308

    Google Scholar 

  • Schlöglmann, W., Zum Verständnis von Funktionseigenschaften BMU (1986) 251–254

    Google Scholar 

  • Siemon, K., Der mathematische Unterricht, 1.Band, Leipzig 1931

    Google Scholar 

  • Sietmann, G., Abstimmung zwischen dem Mathematikunterricht und dem Unterricht in Physik, Chemie und Biologie, MSch 14 (1976) 97–100

    Google Scholar 

  • Sietmann, G., I. Kölbl, Zu Fragen der stofflichen Koordinierung im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht der allgemeinbildenden Schule, Wiss.Z.d.Univ.Rostock, Math.-Nat.Reihe, 23 (1974) 677–680

    Google Scholar 

  • Steinbring, H., Ähnlichkeit, in: G. von Harten u.a., Funktionsbegriff und funktionales Denken, Köln 1986, 85–122

    Google Scholar 

  • Steiner, H.-G., Das moderne mathematische Denken und die Schulmathematik, MU 5, Heft 4 (1959) 5–79

    Google Scholar 

  • Steiner, H.-G., Zur Behandlung des Funktionsbegriffs, In: H. Behnke u. H.-G. Steiner (Hrsg.) Mathematischer Unterricht an deutschen Universitäten und Schulen, Göttingen 1967, 139–171

    Google Scholar 

  • Steiner, H.-G., Aus der Geschichte des Funktionsbegriffs, MU 15, Heft 3 (1969) 13–39

    Google Scholar 

  • Stellmacher, H., Die nichtquantitative Beschreibung von Funktionen durch Graphen beim Einführungsunterricht, in: G.v. Harten u.a., Funktionsbegriff und funktionales Denken, Köln 1986, 21–34

    Google Scholar 

  • Stoye, W., Zum Arbeiten mit Funktionen im Mathematikunterricht der allgemeinbildenden polytechnischen Oberschule, WZ d.Humboldt Univ. Berlin, Math.Nat.R.32 (1983) 77–84

    Google Scholar 

  • Strunz, K., Das funktionale Denken in der Mathematik, Studium generale 2 (1949) 31–37

    Google Scholar 

  • Pickert, G., Der Mengen-und Funktionsbegriff in der Anfängervorlesung, MPSB 5 (1955/56b) 71–79

    Google Scholar 

  • Suarez, A., Formales Denken und Funktionsbegriff bei Jugendlichen, Bern 1977

    Google Scholar 

  • Thurstone, L.L., Primary and mental abilities, Chicago 1938

    Google Scholar 

  • Tooren, E., Mathematische Wesensschau und funktionales Denken, ZMNU 68 (1937) 105–111

    Google Scholar 

  • Tournaire, F., S. Pulos, Proportional reasoning: A review of the literature, ESTM 16 (1985) 181–204

    Google Scholar 

  • Treumann, K., Leistungsdimensionen im Mathematikunterricht, in: P.M. Roeder, K. Treumann, Dimensionen der Schulleistung, Teil 2, Stuttgart 1974

  • Vollrath, H.-J., Didaktik der Algebra, Stuttgart 1974 Vollrath, H.-J., Iterationen mit elementaren Funktionen, PM 20 (1978a) 257–262

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J., Schülerversuche zum Funktionsbegriff, MU 24, Heft 4, (1978b) 90–101

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J., Funktionsbetrachtungen als Ansatz zum Mathematisieren, MU 28, Heft 3 (1982) 5–27

    Google Scholar 

  • Vollrath, H.-J., Search strategies as indicators of functional thinking, ESTM 17 (1986) 387–400

    Google Scholar 

  • Voss, A., Über das Wesen der Mathematik, Leipzig 1908

    Google Scholar 

  • Wagenschein, M., Rettet die Phänomene!, MNU 30 (1977) 129–137

    Google Scholar 

  • Waismann, F., Einführung in das mathematische Denken, Wien 1947

    Google Scholar 

  • Walsch, W., K. Weber (Leiter eines Autorenkollektivs), Methodik — Mathematikunterricht, Berlin 1975

    Google Scholar 

  • Weigand, H.-G., Zur Bedeutung von Zeitfunktionen für den Mathematikunterricht, JMD 9 (1988) 55–86

    Google Scholar 

  • Weyl, H., Das Kontinuum, Leipzig 1918

    Google Scholar 

  • Weyl, H., Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, München 1928

    Google Scholar 

  • Winter, H., Begriff und Bedeutung des übens im Mathematikunterricht, Math.Lehren Heft 2 (1984) 4–16

    Google Scholar 

  • Wittenberg, A.I., Bildung und Mathematik, Stuttgart 1963

    Google Scholar 

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Authors and Affiliations

  1. Mathematisches Institut der Universität, Am Hubland, D-8700, Würzburg, Deutschland

    Hans-Joachim Vollrath (Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik)

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  1. Hans-Joachim Vollrath
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Vollrath, HJ. Funktionales Denken. JMD 10, 3–37 (1989). https://doi.org/10.1007/BF03338719

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