La détermination de moyennes temporelles par échantillonnage dans le cas des fonctions aléatoires stationnaires d’ordre deux

Sommaire

En se plaçant dans le cadre des fonctions aléatoires stationnaires d’ordre deux X(t),on compare la détermination directe des moyennes temporelles,c’estàdire celle qui fait intervenir la limite pour T → ∞ de$\frac{1}{T}\int_0^T {X \left( t \right)dt}$ × (t)dt,aux déterminations reposant sur l’emploi d’une méthode d’échantillonnage.Dans ces dernières, on introduit une fonction de pondération Y(t)également supposée stationnaire d’ordre deux et l’on adopte comme définition de la moyenne de X(t),l’expression$\left\{ {{{\left[ {\lim _{T \to \infty } \frac{1}{T}\int_0^T {X \left( t \right) Y \left( t \right) dt} } \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {\lim _{T \to \infty } \frac{1}{T}\int_0^T {X \left( t \right) Y \left( t \right) dt} } \right]} {m_Y }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m_Y }}} \right\}$ oùm_Y est la moyenne temporelle de Y. Un échantillonnage Y(t)sera déclaré bon, si quel que soit X(t)uniquement astreint à être stationnaire d’ordre deux, les deux méthodes de détermination conduisent au même résultat. Divers types d’échantillonnages sont examinés de ce point de vue, notamment l’échantillonnage par impulsions poissonniennes et divers échantillonnages periodiques aléatoirement perturbés. A propos de l’étude de ces derniers, on étudie systématiquement la transformation des propriétés du second ordre de X(t)lors d’un changement aléatoire d’horloge,qui substitue au temps t un temps θtel que t =a θ + φ (θ), oùa est un nombre certain et φ (θ)une fonction aléatoire de θ, indépendante de X.