Les distribution d’une variable: relations entre deux définitions, dérivation, intégration

Sommaire

L’étude du champ électromagnétique émis par une source harmonique en présence d’obstacles introduit la recherche de certaines solutions du système de Maxwell et de l’équation vectorielle d’Helmholtz. On introduit d’abord d’après J. Mikusinski et R. Sikorski les distributions d’une variablecomme limites d’une suite de fonctions, et on en déduit l’existence d’une dérivée; on étudie les séries de distributions, leurs primitives; l’introduction de la notion de valeur d’une distribution en un point permet de préciser qu’une distribution, tout au moins d’ordre fini, résulte de la superposition d’une fonction continue ou discontinue et d’un ensemble de distributions de Dirac ou de leurs dérivées. On expose ensuite comment la notion de distribution résulte de celle de fonctionnelle linéaire définie sur un espace fonctionnel d’après les travaux de L. Schwartz e; l’on raccorde cette deuxième définition à la première. En conclusion on remarque que les propriétés des distributions s’introduisent mieux par le premier procédé, mais que le deuxième procédé est souvent plus commode pour les calculs.