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Trabajos de Estadistica

, Volume 4, Issue 2, pp 199–207 | Cite as

The probability distribution function of a sum of squares

  • D. E. Barton
Article

Summary

The probability distribution function of a sum of squares ofk random variables is derived as the product of the probability distribution function of “chi-square ofk degrees of freedom» and an infinite series of Laguerre polynomials whose coefficients are linear sums of symmetric functions of the cumulants (and cross-cumulants) of thek random variables.

In particular, when these cumulants are multiples of ascending powers of a small quantity it is shown how the probability distribution function of the sum of squares may be expressed, accurate to any order of the small quantity, as a finite series.

A worked example is given illustrating the method.

Keywords

Probability Distribution Function Symmetric Function Infinite Series Laguerre Polynomial Bution Function 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Resumen

El autor estudia la distribución de probabilidad de la suma de cuadrados de un número finitok de variables aleatorias, esto es,\(\sum\limits_{x - I}^k {x_i ^2 } \) utilizando el producto de la función de densidad de laχ 2 conk grados de libertad, por una serie infinita de polinomios de Laguerre, cuyos coeficientes son sumas lineales de funciones simétricas de los cumulantes uni y bidimensionales de dichask variables aleatorias. Cuando los cumulantes de estask variables son múltiplos de potencias ascendentes de una potencia negativan (tamaño de la muestra), la función de densidad suele obtenerse utilizando un ajuste de Gram-Charlier, etc., aplicado a los cumulantes de la distribución suma obtenidos en función de los cumulantes de las variablesx r; el procedimiento utilizado en este trabajo guarda con el anterior la misma relación que el de Edgeworth con el de Gram-Charlier, ya que utiliza un desarrollo en serie cuyos términos son potencias ascendentes de una cantidad pequeña (potencia negativa den).

Se demuestra que si los cumulantes de lasx r son múltiplos de las potencias ascendentes de dicha cantidad pequeña, la función de densidad de la suma de cuadrados puede expresarse mediante una sucesión finita de términos, con error tan pequeño como se quiera.

En particular se utilizan los resultados obtenidos para aproximar la distribución del criterioψ 2 2 de Neyman, calculando asimismo el error que se comete al tomarψ 2 2 como unaχ 2 con dos grados de libertad.

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References

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Copyright information

© Springer 1953

Authors and Affiliations

  • D. E. Barton

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